Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

são dados os pontos A,B,C,D e E, nessa ordem, sobre uma reta. sabe-se que AB + CD = 3x BC e DE = AB. sendo M medio de BE, tem-se que MD = 2 e AE = 16. Calcule MC.
Gente ... ja tentei de diversas maneiras, porém de nenhum form consegui resolver. Se puderem ajudar de qualquer maneira agradeço desde já.

tem q dar quanto?

v c vc já tento assim:

AB+BC+CD+DE=16
DE=AB
2AB+BC+CD=16

AB+CD=3BC
CD=3BC-AB

então

2AB+BC+3BC-AB=16
AB+4BC=16
AB=16-4BC

Temos tbm

BM=ME
BM=MD+DE
BM=2+DE

DE=AB

ME=2+AB

podemos escrever BM como BC+CM, logo
BC+CM=2+AB

como achamaos la em cima que AB=16-4BC

BC+CM=2+16-4BC
BC+CM=18-4BC
CM=18-5BC

o resultado é 3 ...

então ... não sei como continuar esse raciocínio. sempre consigo 2 equações diferentes em cada tentativa, porem não sei como continua.

consegui, vou organizar as ideias e ja te passo

supus da seguinte forma

A____B___M___C____D______E

como na equação acima ja sabemos que AB=16-4BC

BM=ME
BM=MD+DE (COMO DE = AB)
BM=MD+AB
BM=2+AB
BM=2+16-4BC
BM=18-4BC

BM+MC=18+MC-4BC (bm+mc=bc)
BC=18+MC-4BC
MC=5BC-18

BM tbm pode ser escrito como
BM=MC+CD+AB logo
MC+CD+AB = 18-4BC
5BC-18+CD+AB=18-4BC (ja achamos MC=5BC-18)
CD+AB=36-9BC
CD=36-9BC-AB
CD=36-9BC-16+4BC
CD=20-5BC
CD+AB=20+AB-5BC (CD+AB=3BC)
3BC=20+AB-5BC (AB=16-4BC)
3BC=20+16-4BC-5BC
3BC=36-9BC
12BC=36
BC=3

substituindo em MC=5BC-18
MC=5.3-18=-3

o sinal não deve importar ja q nao existe comprimento negativo, talvez se ele estiver entre cd o sinal mude.

Mais uma contribuição... Vamos imaginar os pontos como números reais dispostos no intervalo [0,16], em que 0 corresponde a A e 16 corresponde a E. Deste modo temos que:

\(B + (D-C) = 3 (C-B)
16-D = B
\left| \frac 12 (16+B) - D \right| = 2 \Leftrightarrow |16+B-2D|=4\)

À excepção do módulo na última equação, tem um sistema linear para resolver. Na verdade, experimentando as duas possibilidades para o sinal de 16+B-2D, pode resolver dois sistemas lineares.

Se usar a equação 16+B-2D = -4, chega à conclusão que o valor pretendido é

\(|\frac 12 (16+B)-C| = 3\)

Se usar a equação 16+B-2D = 4, chega à solução B=20/3, C = 9, D=28/3, pelo que nesse caso a resposta final será 7/3.

O problema tem por isso duas soluções distintas, e não apenas uma só. (a não ser que exista alguma incompatibilidade da segunda solição com os dados do problema que me tenha escapado)

gente !! muito obrigada ! hoje tentei refazer novamente e ficou bem mais fácil substituindo os segmentos por letras ! muito obrigada de verdade ! vocês foram de grande ajuda !