Olà
como as assíntotas se interceptam-se no centro da hipérbole, então:
\(x=-x+4 \\\\ 2x=4 \\\\ x_{c}=2\)
\(y=4-y \\\\ 2y=4 \\\\ y_{c}=2\)
temos que o centro da hipérbole é \(C(2,2)\), perceba que a hipérbole tem as assíntotas dada por:
\(y-y_{c}=\frac{b}{a}*(x-x_{c}) \, , \, (I)\)
\(y-y_{c}=-\frac{b}{a}*(x-x_{c})\, , \, (II)\)
Fazendo a comparação de \(y=x\) com \((I)\) , temos que \(\frac{b}{a}=1 \;\; \Rightarrow \;\; a=b\), então sabemos que trata-se de uma hipérbole equilatera : \(\frac{(y-y_{c})^{2}}{a^2}-\frac{(x-x_{c})^2}{a^2}=1\):
agora aplique o ponto \(P(0,2\sqrt 2+2)\) na equação da hipérbole :
\(\frac{(2\sqrt2 +2-2)^2}{a^2}-\frac{(0-2)^2}{a^2}=1\)
\(\frac{8}{a^2}-\frac{4}{a^2}=1\)
segue que : \(a=2\) e \(b=2\), então a equação da nossa hipérbole é:
\(\frac{(y-2)^2}{4}-\frac{(x-2)^2}{4}=1\)
Anexo:
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