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Um tanque em forma de prisma hexagonal regula, conforme representado a seguir, é utilizado como reservatório de água e abastece bebedouros
para o gado em uma fazenda. Nesses bebedouros, são consumidos diariamente cerca de 10 000 L de água.
Estando inicialmente cheio, durante quantos dias a água do reservatório consegue suprir os bebedouros?

O exercício pode ser decomposto essencialmente em 3 passos:

1) Calcular área do hexágono regular;

2) Calcular volume do reservatório;

3) Determinar para quantos dias dá a água disponível no reservatório.

O passo 1) é o mais demorado. Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos, cada qual um triângulo equilátero, como o da figura 1 em anexo. A área do hexágono será então a soma das áreas dos 6 triângulos, ou seja, A_hexágono= 6*A_triângulo

A área do triângulo é igual a A_triângulo= (b*h)/2, em que b=base do triângulo e h=altura do triângulo

Assim sendo, é necessário encontrar a expressão de h em função de b. Considerando o triângulo da figura 2, e utilizando o Teorema de Pitágoras obtém-se:

\(b^{2}=h^{2}+\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}\)

resolvendo a euqação em ordem a h obtém-se a expressão:

\(h=\frac{3^{^{\frac{1}{2}}}}{2}b\)

O que quer dizer que a área do hexágono é:

\(A_{hexagono}=\frac{\3^{\frac{3}{2}}}{2}b^{2}\)

A base do triângulo é dada na figura e é 2 m. Substituindo na expressão anterior obtém-se uma área de A_hexágono=2*3^3/2 m

Passo 2)

O volume do reservatório é dado por V_{reservatório}=A_hexágono*h_hexágono=2*3^3/2*10=103,9 m³

Passo 3)

Se diariamente são gastos 10 000 L de água para os bebedouros, ou seja, 10 m³ de água, e o reservatório tem uma capacidade de aproximadamente 100 m³ de água, quer isto dizer que o reservatório consegue alimentar os bebedouros durante 10 dias seguidos antes de ser necessário voltar a enchê-lo.