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circulo trigonometrico e pontos https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=4465 |
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Autor: | Ana Silva [ 28 nov 2013, 20:56 ] |
Título da Pergunta: | circulo trigonometrico e pontos |
Considere um ponto P,do primeiro quadrante, pertencente à circunferecia de centro na origem e raio 1. Sejam (r,s) as coordenadas do ponto P, t a reta tangente à circunferencia no ponto P e Q o ponto de intersecçao da reta t com o eixo Ox. Prove que a abscissa do ponto Q é 1/r |
Autor: | Victor Hugo Lyra [ 18 dez 2013, 13:17 ] |
Título da Pergunta: | Re: circulo trigonometrico e pontos |
Seja o ângulo \(\alpha\)\(\alpha=\angle POQ\). Façamos \(\tan \alpha =\frac{r}{s}\). Seja o ponto H que vem a ser a interseção da ordenada de p com o eixo OX. Seja o ângulo \(\angle HPQ=\alpha\). Tomemos o triângulo OPQ: O segmento PQ pode ser calculado da seguinte maneira: \(\tan \alpha =\frac{PQ}{OP}\rightarrow \tan \alpha =\frac{PQ}{1}=\frac{s}{r}\) No triângulo OPQ, temos: \(\left ( \frac{r}{s} \right )^2+1=x_{Q}^{2}\) No Triângulo PQH, temos: \(\left ( PH \right )^2+\left ( QH \right )^2=\left ( PQ \right )^2\rightarrow \left ( x_{Q}-r \right )^2+s^2=\left ( \frac{s}{r} \right )^2\) Desenvolvendo o produto notável teremos: \(x_{Q}^{2}-2x_{Q}r+r^2+s^2=\frac{s^2}{r^2}\r\) Substituindo a 1ª equação na 2ª: \(1+\frac{s^2}{r^2}-2x_{Q}r+r^2+s^2=\frac{s^2}{r^2}\) \(1-2x_{Q}r+r^2+s^2=0\) \(1-2x_{Q}r+1=0\) \(-2x_{Q}r=-2\) \(x_{Q}=\frac{1}{r}\) |
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