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Considere um ponto P,do primeiro quadrante, pertencente à circunferecia de centro na origem e raio 1. Sejam (r,s) as coordenadas do ponto P, t a reta tangente à circunferencia no ponto P e Q o ponto de intersecçao da reta t com o eixo Ox.

Prove que a abscissa do ponto Q é 1/r

Seja o ângulo \(\alpha\)\(\alpha=\angle POQ\). Façamos \(\tan \alpha =\frac{r}{s}\). Seja o ponto H que vem a ser a interseção da ordenada de p com o eixo OX. Seja o ângulo \(\angle HPQ=\alpha\). Tomemos o triângulo OPQ: O segmento PQ pode ser calculado da seguinte maneira:
\(\tan \alpha =\frac{PQ}{OP}\rightarrow \tan \alpha =\frac{PQ}{1}=\frac{s}{r}\)
No triângulo OPQ, temos:
\(\left ( \frac{r}{s} \right )^2+1=x_{Q}^{2}\)
No Triângulo PQH, temos:
\(\left ( PH \right )^2+\left ( QH \right )^2=\left ( PQ \right )^2\rightarrow \left ( x_{Q}-r \right )^2+s^2=\left ( \frac{s}{r} \right )^2\)
Desenvolvendo o produto notável teremos:
\(x_{Q}^{2}-2x_{Q}r+r^2+s^2=\frac{s^2}{r^2}\r\)
Substituindo a 1ª equação na 2ª:
\(1+\frac{s^2}{r^2}-2x_{Q}r+r^2+s^2=\frac{s^2}{r^2}\)
\(1-2x_{Q}r+r^2+s^2=0\)
\(1-2x_{Q}r+1=0\)
\(-2x_{Q}r=-2\)
\(x_{Q}=\frac{1}{r}\)