Fórum de Matemática
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Mostre que a soma das medidas das três medianas de um triângulo é menor que o perímetro desses triângulo.

Boas

A mediana de um triângulo em relação ao lado 'a' (intereseta o meio do lado 'a') é dada por

\(m_a = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }\)

onde 'b' e 'c' são os outros dois lados

Analogamente podemos dizer que:

\(m_b = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}{4} }\)

\(m_c = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} }\)

Basta então demonstrar pela aritmética que

\(\sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }+\sqrt {\frac{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}{4} }+\sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} }<a+b+c\)

Simplificando

\(\sqrt {2 b^2 + 2 c^2 - a^2}+\sqrt {2 a^2 + 2 c^2 - b^2}+\sqrt {2 a^2 + 2 b^2 - c^2 }<2a+2b+2c\)

Bem, agora terá de desenvolver...

Espero ter ajudado

Cumprimentos

PS: Regra 2 do fórum: Seja descritivo no assunto por favor

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João Pimentel Ferreira
 
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