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Mostre que em um triângulo acutângulo o ortocentro é incentro do seu
triângulo órtico.

Não é fácil expor a demonstração, mas vou tentar.

Mostrar que o ortocentro de um triângulo acutângulo é o incentro do triângulo órtico é o mesmo que mostrar que as alturas são bissetrizes do triângulo órtico.

Seja um triângulo de vértices A, B e C e sejam A', B' e C' as bases das alturas que passam por A, B e C respectivamente. Queremos mostar que o ângulo AA'B' é igual ao ângulo AA'C' (e também que BB'A'=BB'C' e CC'A'=CC'B' mas o método é o mesmo). Toma-se a circunferência com diâmetro AB, esta passa pelos pontos A' e B' pois os ângulos AA'B e BB'A são retos. Como os pontos A' e B estão na circunferência os ângulos AA'B' e ABB' vão ser iguais pois são metade do arco BA'. Tomando a circunferência com diâmetro AC e o mesmo raciocínio provamos que AA'C'=ACC'. Falta só ver que ABB'=ACC' o que pode ser visto tomando a circunferência com diâmetro BC (os ângulos são metade do arco B'C').