Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá pessoal, estou com dúvida em como fazer esta questão.
Segue uma imagem anexa do problema.
Minha resposta deu r²sen²θcosθ\(1 + senθ)

Determine a área da região sombreada em termos de r e θ, sabendo que M, N e T são pontos de tangência.
A) r²(1 + senθ)\2
B) r²sen²θcosθ
C) r²senθcosθ
D) r²(1 - senθ)²\2
E) r²tanθsenθ(1 - senθ)

A distância \(\overline{OA}\) é a mesma que \(\overline{OB}\) ou seja, igual a \(r\) ?

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João Pimentel Ferreira
 
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João P. Ferreira AOB se trata de um setor circular determinado por um ângulo de 2θ e raio r; MNT uma circunferência inscrita no setor circular e também são os vértices do triângulo cuja área queremos determinar.

João P. Ferreira agradeço a sua atenção desde já. Como sou novo no fórum quero que me esclareça se a imagem que postei está ruim.
Novamente, muito obrigado pela sua atenção.

Junte ao desenho os seguintes pontos: C o centro da circunferência menor e P o ponto de interseção entre os segmentos OT e MN (ou seja, P é o ponto médio de MN). Então a área do triângulo sombreado é \(MP\times PT\).
Seja R o raio da circunferência pequena. Temos então que \(R=MC=\sin(\theta)OC=\sin(\theta)(r-R)\) donde se tira \(R=\frac{r\sin\theta}{1+\sin\theta}\).
É fácil ver que o ângulo \(\angle PMC=\theta\). Logo \(MP=R\cos\theta =\frac{r\cos\theta\sin\theta}{1+\sin\theta}\) e \(PT=R+R\sin\theta =r\sin\theta\).
Portanto a área que eu deduzo coincide com a sua: área=\(\frac{r^2\sin^2\theta\cos\theta}{1+\sin\theta}\).
Que também pode ser escrita como \(\frac{r^2\sin^2\theta\cos\theta(1-\sin\theta)}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}=r^r\tan\theta\sin\theta(1-\sin\theta)\).

Caro Prof. Rui Carpentier, mais uma vez muito obrigados

Caro Danilo, vejo que tem algumas boas noções de matemática, pode sempre retribuir a ajuda à comunidade
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abraços

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João Pimentel Ferreira
 
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