Cevianas em um triângulo ABC

[Pedro Morgado]

Dado um triângulo ABC traçam-se do vértice A duas cevianas isogonais e internas que formam com o lado BC,ângulos de 80º e 60º.A bissetriz externa do ângulo A forma com um dos lados adjacentes,um ângulo que vale 3/2 do ângulo que a ceviana forma com o mesmo lado.Nestas condições,calcule os ângulos A,B e C.

[David Andrade]

Seja X o pé da primeira ceviana em BC, Y o pé da segunda ceviana em BC e D o pé da bissetriz AD em BC. Sabe-se que CXA = 80º e BYA = 60º. Também se sabe que XAD = DAY e que BAX = YAC. Ora, temos que XBA = 80º - BAX e YCA = 60º - YAC. Assim, 180º = CBA + BAC + ACB = 80º - BAX + BAX + XAD + DAY + YAC + 60º - YAC = 140º + XAD + DAY. Daqui, obtém-se que XAD = DAY = 20º. Agora, seja P um ponto sobre a bissetriz externa que contém A tal que P e C estejam no mesmo semiplano definido pela reta AD. CAP = 3/2 * YAC. Por outro lado, sabe-se que 90º = DAP = DAY + YAC + CAP = 20º + YAC + 3/2 YAC = 20º + 5/2 YAC. Daqui, temos que BAX = YAC = 28º. Assim, BAC = BAX + XAD + DAY + YAC = 28º + 20º + 20º + 28º = 96º, CBA = 80º - BAX = 80º - 28º = 52º e BCA = 60º - YAC = 60º - 28º = 32º.

[Pedro Morgado]

Obrigado David