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| Cevianas em um triângulo ABC https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=5734 |
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| Autor: | Pedro Morgado [ 13 abr 2014, 16:44 ] |
| Título da Pergunta: | Cevianas em um triângulo ABC |
Dado um triângulo ABC traçam-se do vértice A duas cevianas isogonais e internas que formam com o lado BC,ângulos de 80º e 60º.A bissetriz externa do ângulo A forma com um dos lados adjacentes,um ângulo que vale 3/2 do ângulo que a ceviana forma com o mesmo lado.Nestas condições,calcule os ângulos A,B e C. |
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| Autor: | David Andrade [ 13 abr 2014, 18:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cevianas em um triângulo ABC |
Seja X o pé da primeira ceviana em BC, Y o pé da segunda ceviana em BC e D o pé da bissetriz AD em BC. Sabe-se que CXA = 80º e BYA = 60º. Também se sabe que XAD = DAY e que BAX = YAC. Ora, temos que XBA = 80º - BAX e YCA = 60º - YAC. Assim, 180º = CBA + BAC + ACB = 80º - BAX + BAX + XAD + DAY + YAC + 60º - YAC = 140º + XAD + DAY. Daqui, obtém-se que XAD = DAY = 20º. Agora, seja P um ponto sobre a bissetriz externa que contém A tal que P e C estejam no mesmo semiplano definido pela reta AD. CAP = 3/2 * YAC. Por outro lado, sabe-se que 90º = DAP = DAY + YAC + CAP = 20º + YAC + 3/2 YAC = 20º + 5/2 YAC. Daqui, temos que BAX = YAC = 28º. Assim, BAC = BAX + XAD + DAY + YAC = 28º + 20º + 20º + 28º = 96º, CBA = 80º - BAX = 80º - 28º = 52º e BCA = 60º - YAC = 60º - 28º = 32º. |
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| Autor: | Pedro Morgado [ 13 abr 2014, 21:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cevianas em um triângulo ABC |
Obrigado David
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