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| DUVIDA: sen(a) = sen(b) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=591 |
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| Autor: | Danfergo [ 08 jul 2012, 11:16 ] |
| Título da Pergunta: | DUVIDA: sen(a) = sen(b) |
Boas, pessoal. Estou aqui com uma duvida que me está a deixar à toa. sabendo que sen(a) = sen(b) podemos concluir que a=b V a=∏ - b ? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 08 jul 2012, 13:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: DUVIDA: sen(a) = sen(b) |
É isso mesmo meu caro Se \(sen(a)=sen(b)\) então podemos concluir que \(a=b \ \vee \ a=\pi-b \ \vee \ a=b+2k_1\pi \ \vee \ a=\pi-b-2k_2\pi, \ \ k_1,k_2 \in \mathbb{Z}\) Esqueceu-se de incluir as voltas completas de \(2\pi\) Saudações e volta sempre e ajuda os outros se souberes 
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| Autor: | Danfergo [ 08 jul 2012, 15:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: DUVIDA: sen(a) = sen(b) |
entao mas nesse caso podemos dizer no caso geral apenas que: a = b + 2K1(pi) V a = (pi) - b - 2K2(pi), porque para k = 0 a = b + 2K1(pi) <=> a = b a = (pi) - b - 2K2(pi) <=> a = (pi) - b podemos dizer que K1 = K2 ? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 08 jul 2012, 22:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: DUVIDA: sen(a) = sen(b) |
Sim, tem razão, podemos dizer na generalidade que \(a=b+2k_1\pi \ \vee \ a=\pi-b-2k_2\pi, \ \ k_1,k_2 \in \mathbb{Z}\) e atenção que \(k_1\neq k_2\) porque tem de contemplar todas as combinações possíveis... |
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| Autor: | Listeiro 037 [ 08 jul 2012, 22:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: DUVIDA: sen(a) = sen(b) |
Gostaria de saber então sobre o possível erro: \(sen(a) = sen(b)\) -> \(sen(a) - sen(b) = 0\) \(2 sen (\frac{a+b}{2}) cos (\frac{a-b}{2}) = 0\) -> \(sen(\frac{a+b}{2}) cos (\frac{a-b}{2}) = 0\) -> ou ao menos \(sen (\frac{a+b}{2}) = 0\) ou ao menos \(cos (\frac{a-b}{2}) = 0\) \(sen (\frac{a+b}{2}) = 0\) -> \(\frac{a+b}{2} = m \pi\) \(cos (\frac{a-b}{2}) = 0\) -> \(\frac{a-b}{2} = (2n+1) \pi\) \(a+b = 2m \pi\) \(a-b = 2(2n+1) \pi\) 1: \(2a = 2m \pi + 2(2n+1) \pi\) \(a = (m + 2n + 1) \pi\) 2: \(2b = 2m \pi - 2(2n+1) \pi\) \(b = (m - 2n - 1) \pi\) ou seja: \(a = (m + 2n + 1) \pi\) \(b = (m - 2n - 1) \pi\) Para quaisquer \(m\) e \(n\) inteiros. Isto está correto? *** ***** **** Já achei um e bem simples... demais prá editar 
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| Autor: | Listeiro 037 [ 08 jul 2012, 23:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: DUVIDA: sen(a) = sen(b) |
Gostaria de saber então sobre o possível erro: \(sen(a) = sen(b)\) -> \(sen(a) - sen(b) = 0\) \(2 cos (\frac{a+b}{2}) sen (\frac{a-b}{2}) = 0\) -> \(cos(\frac{a+b}{2}) sen (\frac{a-b}{2}) = 0\) -> ou ao menos \(cos (\frac{a+b}{2}) = 0\) ou ao menos \(sen (\frac{a-b}{2}) = 0\) \(cos (\frac{a+b}{2}) = 0\) -> \(\frac{a+b}{2} = (\frac{2m+1}{2}) \pi\) -> \(a + b = (2m+1) \pi\) \(sen (\frac{a-b}{2}) = 0\) -> \(\frac{a-b}{2} = n \pi\) -> \(a - b = 2n \pi\) \(a + b = (2m+1) \pi\) \(a - b = 2n \pi\) 1: \(2a = ((2m+1) + 2n) \pi\) \(a = ((m+n) + \frac{1}{2}) \pi\) 2: \(2b = ((2m+1) - 2n) \pi\) \(b = ((m-n) + \frac{1}{2})) \pi\) ou seja: \(a = ((m+n) + \frac{1}{2}) \pi\) \(b = ((m-n) + \frac{1}{2})) \pi\) Para quaisquer \(m\) e \(n\) inteiros. Isto está correto? *** ***** **** Esta versão seria a verão proposta. *** ***** **** Outro acréscimo: Seja p um valor qualquer (por enquanto pelo menos) no intervalo aberto à direita de \(0\) a \(2 \pi\) Então ficaria: \(a = p + ((m+n) + \frac{1}{2}) \pi\) \(b = p + ((m-n) + \frac{1}{2})) \pi\) Isso preenche a lacuna \(a = b\) Mas três variáveis? *** ***** **** Agora me lembrei que devem ter umas 50 mensagens de edição na caixa-postal de quem está no tópico. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 09 jul 2012, 10:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: DUVIDA: sen(a) = sen(b) |
Citar: \(cos (\frac{a-b}{2}) = 0\) -> \(\frac{a-b}{2} = (2n+1) \pi\) Não percebo esta passagem!!! Não deveria ser \(\frac{a-b}{2}=\frac{\pi}{2}+n\pi\) ou \(a-b=\pi(2n+1)\) |
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| Autor: | Listeiro 037 [ 09 jul 2012, 11:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: DUVIDA: sen(a) = sen(b) |
Obrigado por retornar. A postagem não saiu duplicada. Este excerto aí mostrado está errado mesmo. A segunda postagem teria a proposta de desenvolvimento em dúvida. A primeira eu preferi deixar como estava prá não ter que ficar re-ee-ee-ditando. Além desse erro apontado, há também o possível erro no uso da fórmula de transformas soma/subtação em produtos. Sem levar em conta variáveis, segue este esboço: \(sen + sen = 2 sen cos\) e \(sen - sen = 2 cos sen\) Deve ter até mais erro, resolver digitando é complicado, mas a dificuldade não se resume a só isto. |
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| Autor: | josesousa [ 09 jul 2012, 12:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: DUVIDA: sen(a) = sen(b) |
Eu não percebi a passagem: \(sen(a)-sen(b)=0 =>\) \(2cos(\frac{a+b}{2})sen(\frac{a-b}{2}=0\) Já que esta última expressão é apenas equivalente a \(sen(a)=0\). Acho que o erro está aí! Assim, a solução que obtém no fim \(a=(m+n+1/2)\pi\) não surpreende. |
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| Autor: | Listeiro 037 [ 09 jul 2012, 12:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: DUVIDA: sen(a) = sen(b) |
Ao final eu reconsiderei e coloquei \(a=p+(m+n+\frac{1}{2})\pi\) não surpreende. para um valor aleatório de p ao menos no intervalo \([ 0; 2 \pi [\) Ao menos, já que pode ser reduzido. Mas não compreendi sua observação. |
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