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| Secção de um cubo - Geometria Espacial Métrica https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=6084 |
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| Autor: | Cleunilson [ 19 mai 2014, 21:41 ] |
| Título da Pergunta: | Secção de um cubo - Geometria Espacial Métrica |
Pelas extremidades de três arestas que partem de um vértice A de um cubo traçamos um plano. Mostre que a secção é um triângulo equilátero, Mostre também que a diagonal do cubo que parte de A é perpendicular ao plano da secção e precise a posição dó ponto onde ela é perpendicular. Calcule também a área do triângulo equilátero |
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| Autor: | Sobolev [ 20 mai 2014, 11:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Secção de um cubo - Geometria Espacial Métrica |
A secção é um triângulo equilátero porque os lados desse triângulo são diagonais de faces do cubo, tendo por isso todos a mesma medida. Se imaginar o vértice A na origem de um referencial, a equação do plano é x + y + z = a, em que a>0 é a medida da aresta do cubo. O vector (a,a,a) = a(1,1,1) é perpendicular a este plano e por isso à secção referida. A diagonal que parte de A intersecta o triângulo no seu baricentro que será (a/3,a/3,a/3). Uma vez que a medida da diagonal das faces é \(\sqrt{2} a\), e a altura do triangulo pode ser facilmente calculada, a área do triângulo é \(\sqr{2} a \times \sqrt{3/2} a / 2 =\frac{\sqrt{3}}{2} a\). |
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