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| (CN)Circunferência em geometria plana https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=6339 |
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| Autor: | BrenoNaval [ 17 jun 2014, 04:04 ] | ||
| Título da Pergunta: | (CN)Circunferência em geometria plana | ||
Na figura, o diâmetro AB mede \(8\sqrt{3}\) e a corda CD forma um ângulo de 30º com AB. Se E é ponto médio de AO, onde O é o centro do círculo, a área da região hachurada, mede: \(R=(8{\pi}+3\sqrt{3})\) \((cm)^2\) Galera,esse exercício é do colégio naval de 1985,se alguém quiser visualizar a imagem ele está disponível aqui(Questão 5) => http://www.futuromilitar.com.br/portal/ ... _naval.pdf
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| Autor: | Rui Carpentier [ 18 jun 2014, 14:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (CN)Circunferência em geometria plana [resolvida] |
Uma maneira de resolver é seguinte: Junte os seguintes pontos ao desenho F,G,H,I onde F é o ponto médio de OB, G é o ponto no arco BD tal que OG é paralelo a CD, H é o ponto no arco BD tal que FH é paralelo a CD, e I é a reflexão de F pela reta OG (observe que I vai estar em ED). A região compreendida pelos segmentos EA e EC e o arco AC tem área igual à região compreendida pelos segmentos FB e FH e o arco BH (seja x o valor dessa área). A região compreendida pelos segmentos GO, OF e FH e EC e o arco HG tem área igual à região compreendida pelos segmentos GO, OI e ID e o arco GD (seja y o valor dessa área). Seja z a área do triângulo OEI. Então queremos calcular 2x+2y+z. Sabemos que x+y é a área da região compreendida pelos segmentos OB e OG e o arco BG, que é uma fatia de 30º graus, e portanto tem área \(\frac{\pi R^2}{12}\). Os segmentos EO e OI (é reflexão de OF) têm comprimento R/2 logo o triângulo OEI é um triângulo isosceles e verificando os seus ângulos podemos determinar que a sua área é \(\frac{R^2\sqrt{3}}{16}\). Conclusão, \(2x+2y+z=\frac{\pi R^2}{6}+\frac{R^2\sqrt{3}}{16}\) o que com \(R=4\sqrt{3}\) dá resposta \(8\pi +3\sqrt{3}\). |
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