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Valor máximo do seno e cosseno. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=6720 |
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Autor: | mpaulamamede [ 17 ago 2014, 23:36 ] |
Título da Pergunta: | Valor máximo do seno e cosseno. |
Se y=3+senx.cosx, 0<x<π/2, então o maior valor que y pode assumir é: |
Autor: | Man Utd [ 18 ago 2014, 02:01 ] |
Título da Pergunta: | Re: Valor máximo do seno e cosseno. |
mpaulamamede Escreveu: Se y=3+senx.cosx, 0<x<π/2, então o maior valor que y pode assumir é: Derive e iguale a zero : \(y'=cos^{2}(x)-sen^{2}(x)=cos(2x)\) logo : \(cos(2x)=0 \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\) Como o intervalo é \(0<x<\frac{\pi}{2}\), a única solução que atende ao enunciado é \(x=\frac{\pi}{4}\),para provarmos que este ponto realmente é um ponto de máximo absoluto, faremos o seguinte : \(\lim_{x \to 0^{+}} \; 3+senx*cosx=3\) \(\lim_{x \to \left( \frac{\pi}{2} \right)^{-}} \; 3+senx*cosx=3\) \(f\left( \frac{\pi}{4} \right)=3+sen\left( \frac{\pi}{4} \right)*cos\left( \frac{\pi}{4} )=3.5\) logo \(x=\frac{\pi}{4}\) é o ponto que fornece o maior valor da função \(y=3+senx.cosx\) no intervalo \(0<x<\frac{\pi}{2}\) e o máximo valor é 3.5 . Segunda Solução : \(y=3+senx*cosx\) \(y=3+\frac{sen(2x)}{2}\) essa função é máxima quando \(sen(2x)=1\) pois esse é o maior valor que esta função seno pode assumir , e o valor de "x" que maximiza a função seno pode ser facilmente percebido que é \(x=\frac{\pi}{4}\) (está dentro do intervalo considerado) já que : \(sen\left( 2*\frac{\pi}{4} \right)=sen\left( \frac{\pi}{2} \right)=1\). \(y_{\text{maximo}}=3+\frac{1}{2}=3.5\) |
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