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Determinar a equação da elipse cujos focos são f1 = (-1,2) e f2 = (3,2) e que satisfaz dist(p,f1) + dist (p,f2) = 6 para todo ponto p dessa elipse

Seja \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa elipse, por definição a soma das distâncias desse ponto aos focos é constante e vale, nesse exercício, 6, logo a equação correspondente será:

\(\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}=6\)

Agora é necessário desenvolver essa equação para uma melhor apresentação. Eleva ao quadrado aqui, simplifica ali, junta os semelhantes acolá, dá uma mão de obra.

Depois de alguns algebrismos, se não errei nas contas, eu cheguei nestas opções aqui: \(5x^2-10x+9y^2-36y -4 = 0\) ou \((\sqrt{5}x-\sqrt{5})^2 + (3y-6)^2=45\).

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Fraol
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Acabei de testar aqui e, a priori, as contas estão certas, pois os pontos (-2,2) e (4,2) pertencem a essa elipse (por que?) e satisfazem as equações. Então é só a mão de obra que você terá para desenvolver a formulação inicial.

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