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| OBM Nível 2 Fase 3 de 2010 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=7183 |
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| Autor: | Caio Borges [ 23 Oct 2014, 22:56 ] |
| Título da Pergunta: | OBM Nível 2 Fase 3 de 2010 |
Olá Pessoal, Gostaria que confirmassem a resposta da seguinte pergunta retirada da OBM Nível 2 Fase 3 de 2010 Pergunta:Os três lados e a área de um triângulo são números inteiros. Qual o menor valor da área desse triângulo Cheguei a conclusão de que esse triângulo não pode ser equilátero, pois, caso isso ocorresse, a Área seria apenas um numero inteiro caso o lado estivesse sendo multipllicado por raiz de 3. Utilizando o Teorema de Herão, temos que: A=(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))^1/2; Para p=Semiperimetro do triangulo; a,b,c=Lados do Triangulo; A=Area do triangulo. O resultado minimo que tive foi A=6 p/ a=1;b=2;c=3. |
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| Autor: | Fraol [ 24 Oct 2014, 00:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: OBM Nível 2 Fase 3 de 2010 |
Oi, você deve lembrar também da desigualdade triangular: a medida de qualquer lado é menor do que a soma dos demais. |
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| Autor: | Fraol [ 24 Oct 2014, 01:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: OBM Nível 2 Fase 3 de 2010 |
E também, pense no seguinte: A área será mínima quando p for mínimo, isto é, quando \(\frac{a+b+c}{2}\) for mínimo. Eu não analisei mais a fundo, mas penso que o triângulo equilátero de lado 1 é o de área menor. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 24 Oct 2014, 17:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: OBM Nível 2 Fase 3 de 2010 |
Caio Borges Escreveu: Olá Pessoal, Gostaria que confirmassem a resposta da seguinte pergunta retirada da OBM Nível 2 Fase 3 de 2010 Pergunta:Os três lados e a área de um triângulo são números inteiros. Qual o menor valor da área desse triângulo Cheguei a conclusão de que esse triângulo não pode ser equilátero, pois, caso isso ocorresse, a Área seria apenas um numero inteiro caso o lado estivesse sendo multipllicado por raiz de 3. Utilizando o Teorema de Herão, temos que: A=(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))^1/2; Para p=Semiperimetro do triangulo; a,b,c=Lados do Triangulo; A=Area do triangulo. O resultado minimo que tive foi A=6 p/ a=1;b=2;c=3. Usar a fórmula de Herão é uma boa ideia. Se não forem admitidos triângulos degenerados (com área zero) então 6 é, de facto, a área mínima (mas com as medidas a=3,b=4 e c=5 e não a=1,b=2 e c=3 que dá um triângulo degenerado). O mais complicado é provar que não pode ser menor. Não é dificil ver que, sendo a,b,c inteiros positivos, a área só é um inteiro se e só se o semiperímetro é inteiro. Para facilitar as contas, sejam x=p-a; y=p-b; z=p-c e logo p=x+y+z, com \(x\le y\le z<p\) (caso em que \(a\ge b\ge c>0\)). Vamos mostrar que não existe um triângulo com área \(A=\sqrt{(x+y+z)xyz}\) menor que 6 (i.e. menor ou igual a 5). Nesse caso teríamos \(x^2\sqrt{3}=\sqrt{(x+x+x)xxx}\le\sqrt{(x+y+z)xyz}\le 5\) donde se tira que x=1 (pois é um inteiro positivo). Tomando agora x=1 teríamos \(y\sqrt{1+2y}\le \sqrt{(1+y+z)yz}\le 5\) donde sai que y=1 ou 2. Fazendo y=1, teríamos \(\sqrt{(2+z)z}\le 5\) logo z=1,2,3, ou 4. Fazendo y=2, teríamos \(\sqrt{(3+z)2z}\le 5\) logo z=2 (note que \(z\ge y\)). Agora é só analisar cada caso particular: x=y=z=1 (i.e. a=b=c=2); x=y=1,z=2 (i.e. a=b=3,c=2); x=y=1,z=3 (i.e. a=b=4,c=2); x=y=1,z=4 (i.e. a=b=5,c=2) e x=1,y=z=2 (i.e. a=4,b=c=3) e confirmar que nenhum deles dá área inteira. |
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