Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Duas circunferências de centros A e B, e de raios R e R/2, são tangentes internamente. Calcule o raio da circunferência que é tangente a essas duas circunferências e à reta AB.

Res.: 4R/9

Vou-lhe dizer como pode resolver (deixo os calculos para você).
Seja r o raio da circunferência que queremos calcular, C o seu centro, D o ponto de tangencia de tal circunferência com a reta AB e E o ponto de tangencia com a circunferência de raio R e centro em A.
Os pontos A, C e E são colineares (pois E é ponto tangente de circunferências de centros A e C), logo o segmento AC tem comprimento R-r.
Seja x o comprimento do segmento DA. Como o triângulo ACD é retângulo temos, pelo teorema de Pitágoras, a equação \(x^2+r^2=(R-r)^2\).
O triângulo BCD também é retângulo com a hipotenusa BC a valer r+R/2, o lado BD a valer x+R/2 e o lado CD a valer r. Temos então a equação \(r^2+\left(x+\frac{R}{2}\right)^2=\left(r+\frac{R}{2}\right)^2\).
Juntam as duas equações é possível isolar o x:
e substituindo o x numa das equações obtemos o valor de r.