Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Saudações, amigos. Gostaria de que vocês resolvessem a seguinte questão para me ajudar em algumas dúvidas:

Seja o número complexo z = a + bi .
Sabemos que tal número pode ser representado na sua forma
trigonométrica por z = r * (cos ângulo + i * sen ângulo) onde o ângulo é chamado
argumento de z e representa o ângulo entre o eixo real e a reta que
passa por z e pela origem o , e r é o módulo de z e representa a
medida da distância entre a origem o e o ponto z.
Portanto, para z todo podemos associar um par (r, ângulo), com ângulo entre 0 e 2 pi.
Considere os números complexos z1 = (2;pi/3), z2 = (3;0), z3 = (1;pi), z4=(1;pi/6).
Calcule z1 + z2 + z3 * z4 e o represente no plano complexo.

Acho que representar o resultado no plano complexo fica inviável por aqui, mas só o resultado já seria de grande ajuda. Muito obrigado.

Boa tarde!

Vamos escrever os números complexos:
\(z_1 = \left (2; \pi/3 \right )
z_2 = \left (3; 0 \right )
z_3 = \left (1; \pi \right )
z_4 = \left (1; \pi/6 \right )\)

Vamos executar a operação\(z_1+z_2+z_3*z_4\). Para isso, em alguns casos, precisamos primeiro transformar de forma polar para cartesiana:
\(z_1 = 2*(cos(\pi/3)+i*sen(\pi/3))
z_1 = 2*((1/2)+i*(\sqrt{3}/2))
z_1 = 1+i*\sqrt{3}\)

\(z_2 = 3*(cos(0)+i*sen(0))
z_2 = 3*(1+i*0)
z_2 = 3\)

\(z_3*z_4 = \left (1; \pi \right )*\left (1; \pi/6 \right ) = \left (1*1; \pi+\pi/6 \right )
z_3*z_4 = \left (1; 7\pi/6 \right )
z_3*z_4 = 1*(cos(7\pi/6)+i*sen(7\pi/6))
z_3*z_4 = 1*(-cos(\pi/6)-i*sen(\pi/6))
z_3*z_4 = 1*(-\sqrt{3}/2-i*(1/2))
z_3*z_4 = -\sqrt{3}/2-i*(1/2)\)

\(z_1+z_2+z_3*z_4 = 1+i*(\sqrt{3}/2)+3-\sqrt{3}/2-i*(1/2) = (4-\sqrt{3}/2)+i*(\sqrt{3}-1/2)\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Muito obrigado, Baltuilhe! Sua resposta bateu com o que eu tinha achado aqui. ^^