Calcule o Seno de 18º

[VictorFPS]

Boa noite!
Ao assistir a uma aula de cursinho específico para entrar no IME/ITA de São Paulo, havia um exercício que não consegui resolver. O exercício não continha um enunciado, mas a maneira como ele foi escrito entende-se o que se pede:

Se o Cos 54º = Sen 36º, então o Sen 18º = ?

A única coisa que sei é que deve-se aplicar o Arco Triplo, mas não consegui resolver o exercício. Eu sei que o Cos 54º = 0.58 e o mesmo vale para o Sen 36º, porém o exercício não dá o valor de nenhum deles. Gostaria de saber como poderia resolver esse exercício e achar o valor de Sen 18º sem a ajuda de uma calculadora científica. Obrigado a todos.

[MRocha]

Se conseguires perceber o circulo trigonométrico o exercício fica fácil.

Tens que pensar que quando o angulo é 45:
cos = sen;

Depois quando o angulo aumenta o seno começa a aumentar e o cos a diminuir:
0 + 36 = 36;
90 - 36 = 54.

Ou seja têm exatamente o mesmo valor mas em eixos do circulo trigonométrico diferentes.

[VictorFPS]

Se conseguires perceber o circulo trigonométrico o exercício fica fácil.

Tens que pensar que quando o angulo é 45:
cos = sen;

Depois quando o angulo aumenta o seno começa a aumentar e o cos a diminuir:
0 + 36 = 36;
90 - 36 = 54.

Ou seja têm exatamente o mesmo valor mas em eixos do circulo trigonométrico diferentes.

Sim, mas o problema pede para achar o Sen 18º baseando-se no que ele deu ( Cos 54º = Sen 36º), mas o problema é como fazer isso sem usar a calculadora.

[MRocha]

Eles não te estão a pedir para calculares o valor de sen 18. O objetivo é fazeres isto:

sen 18º = cos x;

Tens que achar o x e para isso não precisas de calculadora.

Basta fazeres uma analogia com o 1º caso.

Se tiveres dúvidas responde novamente.

[VictorFPS]

Eles não te estão a pedir para calculares o valor de sen 18. O objetivo é fazeres isto:

sen 18º = cos x;

Tens que achar o x e para isso não precisas de calculadora.

Basta fazeres uma analogia com o 1º caso.

Se tiveres dúvidas responde novamente.

Sim, se esse fosse o caso, o sen 18º seria o mesmo que o cos 72º, porém o exercício desse tipo de vestibular pede, como maneira padrão de resolução, para determinar o valor do que ele pede. Ou seja, eu deveria chegar ao valor de 0.30 (Sen 18º) representando a conta e chegando a esse valor. Como deveria fazer isso ?

[MRocha]

Sendo assim desconheço qualquer outra relação entre os dois casos.

[Baltuilhe]

Boa noite!
Ao assistir a uma aula de cursinho específico para entrar no IME/ITA de São Paulo, havia um exercício que não consegui resolver. O exercício não continha um enunciado, mas a maneira como ele foi escrito entende-se o que se pede:

Se o Cos 54º = Sen 36º, então o Sen 18º = ?

A única coisa que sei é que deve-se aplicar o Arco Triplo, mas não consegui resolver o exercício. Eu sei que o Cos 54º = 0.58 e o mesmo vale para o Sen 36º, porém o exercício não dá o valor de nenhum deles. Gostaria de saber como poderia resolver esse exercício e achar o valor de Sen 18º sem a ajuda de uma calculadora científica. Obrigado a todos.

Boa noite!

Não sei como poderia auxiliar a relação inicial de cosseno e seno, talvez outro colega aqui no Fórum possa auxiliar, mas já conhecia a solução que vou mostrar aqui. Inclusive a desenhei.

Bom, como pode ver, temos um triângulo ABC isósceles com lados iguais a 1 e ângulo A igual a 36 graus. Sendo a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer 180, temos 72 graus para os dois outros ângulos da base do mesmo.
Tracei uma bissetriz pelo vértice C e montei um triângulo CDB, que pelos ângulos internos pode perceber ser um triângulo semelhante ao ABC.

Usando a semelhança de triângulos, podemos obter:
\(\frac{AB}{BC}=\frac{CD}{DB}\)

\(\frac{1}{x}=\frac{x}{1-x}\)

\(x^2=1-x\)
\(x^2+x-1=0\)

Agora, resolvendo a equação do segundo grau:
\(\Delta=(1)^2-4(1)(-1)
\Delta=1+4
\Delta=5\)

Raízes:
\(x=\frac{-(1)\pm \sqrt{5}}{2}
x=\frac{-1\pm \sqrt 5}{2}
x'=\frac{-1+ \sqrt 5}{2}
x''=\frac{-1- \sqrt 5}{2}\)

Como procuramos um tamanho x positivo (pois não podemos admitir tamanho negativo), a única solução geométrica será:
\(x=\frac{\sqrt 5-1}{2}\)

Agora, observando a figura ao lado, onde temos um triângulo retângulo com ângulo de 18 graus, acho que sai o valor agora:
\(sen 18^{\circ}=\frac{x/2}{1}
sen 18^{\circ}=\frac{x}{2}
sen 18^{\circ}=\frac{\frac{\sqrt 5-1}{2}}{2}
sen 18^{\circ}=\frac{\sqrt 5-1}{4}\)

Espero ter ajudado!

[VictorFPS]

Boa noite!
Ao assistir a uma aula de cursinho específico para entrar no IME/ITA de São Paulo, havia um exercício que não consegui resolver. O exercício não continha um enunciado, mas a maneira como ele foi escrito entende-se o que se pede:

Se o Cos 54º = Sen 36º, então o Sen 18º = ?

A única coisa que sei é que deve-se aplicar o Arco Triplo, mas não consegui resolver o exercício. Eu sei que o Cos 54º = 0.58 e o mesmo vale para o Sen 36º, porém o exercício não dá o valor de nenhum deles. Gostaria de saber como poderia resolver esse exercício e achar o valor de Sen 18º sem a ajuda de uma calculadora científica. Obrigado a todos.

Boa noite!

Não sei como poderia auxiliar a relação inicial de cosseno e seno, talvez outro colega aqui no Fórum possa auxiliar, mas já conhecia a solução que vou mostrar aqui. Inclusive a desenhei.

Ângulo 18 graus.jpg

Bom, como pode ver, temos um triângulo ABC isósceles com lados iguais a 1 e ângulo A igual a 36 graus. Sendo a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer 180, temos 72 graus para os dois outros ângulos da base do mesmo.
Tracei uma bissetriz pelo vértice C e montei um triângulo CDB, que pelos ângulos internos pode perceber ser um triângulo semelhante ao ABC.

Usando a semelhança de triângulos, podemos obter:
\(\frac{AB}{BC}=\frac{CD}{DB}\)

\(\frac{1}{x}=\frac{x}{1-x}\)

\(x^2=1-x\)
\(x^2+x-1=0\)

Agora, resolvendo a equação do segundo grau:
\(\Delta=(1)^2-4(1)(-1)
\Delta=1+4
\Delta=5\)

Raízes:
\(x=\frac{-(1)\pm \sqrt{5}}{2}
x=\frac{-1\pm \sqrt 5}{2}
x'=\frac{-1+ \sqrt 5}{2}
x''=\frac{-1- \sqrt 5}{2}\)

Como procuramos um tamanho x positivo (pois não podemos admitir tamanho negativo), a única solução geométrica será:
\(x=\frac{\sqrt 5-1}{2}\)

Agora, observando a figura ao lado, onde temos um triângulo retângulo com ângulo de 18 graus, acho que sai o valor agora:
\(sen 18^{\circ}=\frac{x/2}{1}
sen 18^{\circ}=\frac{x}{2}
sen 18^{\circ}=\frac{\frac{\sqrt 5-1}{2}}{2}
sen 18^{\circ}=\frac{\sqrt 5-1}{4}\)

Espero ter ajudado!

Obrigado!
Nesse caso então teria uma comprovação mais fácil sem usar o Arco triplo e substituindo valores. Valeu!