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| Área de um triângulo inserido num quadrado https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=8031 |
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| Autor: | DMC [ 18 fev 2015, 00:15 ] | ||
| Título da Pergunta: | Área de um triângulo inserido num quadrado | ||
Penso já ter alcançado uma parte do problema mas não consigo avançar... Gostaria de pedir a vossa ajuda!
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| Autor: | Baltuilhe [ 18 fev 2015, 04:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Área de um triângulo inserido num quadrado [resolvida] |
Boa noite! Resolvendo a questão por completo (até o item 2.1 de forma a poder conferir, ok?). 2.1) Pelo desenho podemos montar os vetores AP e AQ, já que dado o valor da tangente podemos encontrar a relação entre os lados AB e BP. Como \(tg\alpha =\frac{1}{2}\) e tangente é calculada dividindo-se cateto oposto por cateto adjacente, arbitraremos: \(\overline{AB}=2x\) \(\overline{BP}=x\) Verificando: \(tg\alpha = \frac{\overline{BP}}{\overline{AB}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\) Então, montando os vetores AB, AP e AQ: \(\vec{AB}=(2x)\vec{i}+(0)\vec{j}\) \(\vec{AP}=(2x)\vec{i}+(x)\vec{j}\) \(\vec{AQ}=(x)\vec{i}+(2x)\vec{j}\), este último pois DQ tem o mesmo tamanho do segmento BP (pela simetria) Vamos mostrar, então, que se \(tg\alpha =\frac{1}{2}\), então \(\vec{AP}.\vec{AQ}=||\vec{AB}||^2\). Calculando a primeira parte, lado esquerdo: \(\vec{AP}.\vec{AQ}=((2x)\vec{i}+(x)\vec{j}).((x)\vec{i}+(2x)\vec{j})=2x^2+2x^2=4x^2\) Agora calculando a segunda parte, lado direito: \(||\vec{AB}||^2=\vec{AB}.\vec{AB}=((2x)\vec{i}+(0)\vec{j}).((2x)\vec{i}+(0)\vec{j})=(2x)^2=4x^2\) Veja que os dois lados são iguais, portanto, representam uma igualdade. 2.2) \(\overline{AB}=2\) Veja que o segmento BP, agora, vale \(2tg\alpha\) a) Reescrevendo os vetores: \(\vec{AB}=(2)\vec{i}+(0)\vec{j}\) \(\vec{AP}=(2)\vec{i}+(2tg\alpha)\vec{j}\) \(\vec{AQ}=(2tg\alpha)\vec{i}+(2)\vec{j}\) Então, para obtermos a área do triângulo basta calcularmos o produto vetorial e dividir por 2 (já que o produto vetorial entrega, em módulo, a área do paralelogramo formado pelos vetores) \(A=\frac{||\vec{AP}\times \vec{AQ}||}{2}\) Calculando o produto vetorial: \(\vec{AP}\times \vec{AQ}=((2)\vec{i}+(2tg\alpha)\vec{j})\times ((2tg\alpha)\vec{i}+(2)\vec{j})=(2^2-2^2tg^2\alpha)\vec{k}=(4-4tg^2\alpha)\vec{k}\) Agora voltando para a área: \(A=\frac{||\vec{AP}\times \vec{AQ}||}{2}=\frac{||(4-4tg^2\alpha)\vec{k}||}{2}=\frac{4-4tg^2\alpha}{2}=2-2tg^2\alpha\) b) Para determinar o alfa, agora, fica mais fácil: \(A=\frac{4}{3} 2-2tg^2\alpha=\frac{4}{3} -2tg^2\alpha=\frac{4}{3}-2 -2tg^2\alpha=\frac{-2}{3} tg^2\alpha=\frac{1}{3} tg\alpha=\sqrt{\frac{1}{3}} tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3} \alpha=\frac{\pi}{6}\) Espero ter ajudado! Abraços! |
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