A figura apresenta um octógono regular e um pentágono regular de mesmo lado. Determine as medidas dos ângulos indicados na figura.
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| Autor: | Patricia Leonila [ 12 mar 2015, 21:04 ] | ||
| Título da Pergunta: | Calcule os ângulos apresentados em um octógono regular e um pentágono regular de mesmo lado | ||
A figura apresenta um octógono regular e um pentágono regular de mesmo lado. Determine as medidas dos ângulos indicados na figura.
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| Autor: | Baltuilhe [ 13 mar 2015, 04:23 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Calcule os ângulos apresentados em um octógono regular e um pentágono regular de mesmo lado [resolvida] | ||
Boa noite! Primeiramente vamos calcular o valor dos ângulos internos tanto do pentágono quanto do octógono. Temos duas formas de calcular. A primeira pela soma dos ângulos externos (vou calcular o octógono por esta) e a outra diretamente pela soma dos ângulos internos (vou calcular o pentágono por esta). Pentágono: \(n=5\\ S_e=360^{\circ}\\ a_e=\frac{S_e}{n}\\ a_e=\frac{360^{\circ}}{n}\\ a_e=\frac{360^{\circ}}{5}\\ a_e=72^{\circ}\) Como a soma do ângulo interno com o externo vale 180, temos: \(a_i+a_e=180^{\circ} a_i+72^{\circ}=180^{\circ} a_i=180^{\circ}-72^{\circ} a_i=108^{\circ}\) No desenho, no triângulo \(\Delta BAC\) o ângulo \(\hat{B}=108^{\circ}\). Sendo este triângulo isósceles tem 2 ângulos iguais, o \(\hat{A}\) e o \(\hat{C}\) Vou chamar estes ângulos de z para calcular. Então:\(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}\\ z+z+108^{\circ}=180^{\circ}\\ 2z=72^{\circ} z=36^{\circ}\) Este também é o valor de b no desenho. O ângulo a é metade de um ângulo interno do octógono (pela simetria): Então: \(a=\frac{135^{\circ}}{2}\\ a=67,5^{\circ}\) O ângulo w é o ângulo externo ao triângulo \(\Delta DAB\), portanto, ele é a soma de a com b: \(w=a+b\\ w=67,5^{\circ}+36^{\circ}\\ w=103,5^{\circ}\) Se observar o vértice A relativamente ao octógono e ao pentágono verá que o ângulo x é a diferença entre os dois ângulos internos: \(x=135^{\circ}-108^{\circ}\\ x=27^{\circ}\) Novamente, temos outro triângulo isósceles, o triângulo \(\Delta AEF\) Então: \(x+2y=180^{\circ}\\ 27^{\circ}+2y=180^{\circ} 2y=180^{\circ}-27^{\circ} 2y=153^{\circ} y=76,5^{\circ}\) Espero ter ajudado!
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