Não percebo o que está escrito na resposta: \(x=b\sqrt{a^2}+\frac{b^2}{a}+b\)? Ou \(x=\frac{b\sqrt{a^2}+b^2}{a+b}\)? Ou \(x=\frac{b\sqrt{a^2+b^2}}{a+b}\)? (use tex por favor)
De qualquer modo não me parece estar correta. Deveria dar \(x=\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}\).
Para chegar siga o seguinte raciocínio. Primeiro, para para podermos visualisar o argumento, vamos atribuir as letras A,B e C aos vértices do triângulo de modo que C é o vértice reto, e A e B são tais que AC=a e BC=b. Seja D o ponto em que AB interseta a bissetriz e E o ponto em AC tal que o segmento ED é paralelo ao segmento CB. Temos então que os triângulos AED e ACB são semelhantes e portanto \(\frac{AE}{ED}=\frac{AC}{CB}\Leftrightarrow \frac{a-\mbox{cos}(45^o)x}{\mbox{sen}(45^o)x}=\frac{a}{b}\). Agora é só resolver a equação.