Boas
Repara que \(S\) é a soma das áreas laterais
Consideramos também que a projeção ortogonal assenta exatamente no centro da base como dado pelo enunciado.
Assim, considerando que a base é um retângulo \(x\) por \(y\) repara que que a azul na imagem temos um triângulo retângulo e pelo teorema de Pitágora podemos dizer que \(\sqrt{h^2+(x/2)^2}\) é a altura do triângulo lateral formado por um dos lados da pirâmide (lado direito na imagem).
A área de um trângulo é \(\frac{b.a}{2}\) ou seja base vezes altura sobre 2.
Então a área desse lado da pirâmide (lado direito na imagem) é dada por
\(\frac{\sqrt{h^2+(x/2)^2}.y}{2}\)
Ora pelo mesmo raciocínio podemos dizer que a área do lado esquerdo é igual ao direito.
E podemos dizer que as áreas laterais da pirâmide dos lados posterior e anterior da imagem, são iguais e dadas por
\(\frac{\sqrt{h^2+(y/2)^2}.x}{2}\)
Assim conclui-se que
\(S=\frac{\sqrt{h^2+(x/2)^2}.y}{2}+\frac{\sqrt{h^2+(x/2)^2}.y}{2}+\frac{\sqrt{h^2+(y/2)^2}.x}{2}+\frac{\sqrt{h^2+(y/2)^2}.x}{2} \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow S=\sqrt{h^2+(x/2)^2}.y+\sqrt{h^2+(y/2)^2}.x \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{h^2+(y/2)^2}=\frac{S-\sqrt{h^2+(x/2)^2}.y}{x}\)
elevando ao quadrado dos dois lados
\(h^2+(y/2)^2=\frac{S^2-2.S.\sqrt{h^2+(x/2)^2}.y+(h^2+(x/2)^2)y^2}{x^2}\)
Agora é só pôr o \(y\) em evidência
ficarás com uma equação do 2º grau, e terás de escolher o valor para \(y\) que tenha sentido
acho que é isto...
Saudações
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