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| Triângulo sobre parábola definida por uma função https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=8603 |
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| Autor: | PAULOABREU [ 27 abr 2015, 16:05 ] |
| Título da Pergunta: | Triângulo sobre parábola definida por uma função |
como resolver a seguinte questão:Considere um triângulo de vértices A = (0,0), B = (2,4) e o vértice C = (x,y) sobre a parábola definida pela função f(x) = x² - 2kx + k² + 2k + 6, sendo k um número real fixo. A altura, em relação a base AB, do triângulo de áre mínima é: a) k + 1 b) k² + 2k + 6 c) raiz de 5 d)5 |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 28 abr 2015, 17:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Triângulo sobre parábola definida por uma função |
Dado um segmento de reta AB o lugar geométrico do vértice C que mantém invariante a área do triângulo ABC é uma reta paralela a AB. Assim sendo, uma área é mínima se a reta associada a essa área intersecta a parábola (i.e. há um ponto C na parábola onde ABC tem essa área) e qualquer outra reta paralela por baixo não intersecta a parábola (i.e. não há outro ponto C na parábola onde ABC tem área menor). Isto significa que a reta terá de ser tangente à parabola e o ponto C será o ponto de tangência. Creio que com esta informação já consegue resolver o exercício: sabe a inclinação da reta (que é igual à inclinação do segmento AB), sabe a derivada f'(x) da função f(x) = x² - 2kx + k² + 2k + 6 (que dá a inclinação da reta tangente à parábola no ponto de abcissa x), só tem de ver onde se dá a igualdade para determinar o x, com isto determina C=(x,f(x)), depois determine a altura do triângulo ABC (sugestão: a altura é a mesma do paralelograma gerado pelos vetores (2,4) e (x,f(x))). Spoiler: |
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