Gregotsg Escreveu:Caros colegas, estou travado na seguinte questão:
Provar que para todo \(n\in \mathbb{N}\)
, \(3^{2n+1}+2^{n+2}\) é múltiplo de 7.
3^(2n + 1) + 2^(n + 2) = 7k
3^2n .3^1 + 2^n . 2^2 = 7k
3.9^n + 4.2^n = 7k
Para n = 1, temos 27 + 8 = 35 = 7.5 ( confere )
Para n = n + 1, temos 3.9^n.9 + 4.2^n.2 = t
Chamando 3.9^n = x e 4.2^n = y, temos:
9x + 2y = t
Dividindo por 9, temos x + 2y/9 = t/9
Substituindo x por 7k - y, temos 7k - y + 2y/9 = t/9
Resolvendo, temos 63k - 7y = t
Assim, 7(9k - y) = t, ou seja, t é múltiplo de 7.