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Geometria Analitica e vetores - paralelismo https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=9190 |
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Autor: | cloud460 [ 18 jul 2015, 21:23 ] |
Título da Pergunta: | Geometria Analitica e vetores - paralelismo |
No triangulo ABC, D eh ponto medio de BC. O ponto E, de AC, eh tal que AE=mEC. Calcule m para que os vetores v=DE e w=BA+CA+2BC fiquem paralelos. Alguem pode ajudar ? |
Autor: | Fraol [ 20 jul 2015, 01:41 ] |
Título da Pergunta: | Re: Geometria Analitica e vetores - paralelismo |
Boa noite, Você não teria aí mais alguma informação tais como as coordenadas dos pontos A, B e C ou coisa que o valha ... ? Aparentemente é uma identidade do tipo: o vetor w intercepta AC num ponto F tal que BF = 2DE, mas não me recordo os detalhes agora. Então se tiver mais alguma informação para refrescar a memória, seria bom. |
Autor: | cloud460 [ 20 jul 2015, 02:03 ] |
Título da Pergunta: | Re: Geometria Analitica e vetores - paralelismo |
nao tem coordenadas. o exercicio informa apenas isso. |
Autor: | Fraol [ 20 jul 2015, 02:30 ] |
Título da Pergunta: | Re: Geometria Analitica e vetores - paralelismo |
Ok. Obrigado. Estive "ruminando" aqui e conclui que AE = 2EC pois, nestas condições, com E e F sobre AC, este fica dividido em 3 partes iguais. Resta agora provar (demonstrar). Vou pensar mais um pouco no assunto, possivelmente amanhã. De qualquer forma, a questão fica aberta a quem quiser colaborar. |
Autor: | Fraol [ 22 jul 2015, 03:42 ] |
Título da Pergunta: | Re: Geometria Analitica e vetores - paralelismo |
Oi, creio que podemos demonstrar da seguinte forma (talvez tenha que organizar um pouco o algebrismo): Vamos assumir que os vetores estão referenciados em uma origem O. Também vou omitir as setas sobre os segmentos para indicar os vetores. cloud460 Escreveu: No triangulo ABC, D eh ponto medio de BC. O ponto E, de AC, eh tal que AE=mEC. Calcule m para que os vetores v=DE e w=BA+CA+2BC fiquem paralelos. \(w=BA+CA+2BC = OA - OB + OA - OC + 2(OC - OB)\) então \(w = 2OA -3OB + OC\) \(AE = OC - OA - EC\) . Como \(EC = \frac{OC}{m+1} - \frac{OA}{m+1}\) então \(AE = OC - OA - \frac{OC}{m+1} + \frac{OA}{m+1}\) \(OE = OA + AE = OA + OC - OA - \frac{OC}{m+1} + \frac{OA}{m+1}\) \(v = DE = OE - OD = OE - \frac{OB+OC}{2}\) \(v = DE = OE - OD = OC - \frac{OC}{m+1} + \frac{OA}{m+1} - \frac{OB+OC}{2}\). Agora arrumando um pouco: \(v = \frac{OA}{m+1} -\frac{OB}{2} + \frac{(m-1)OC}{2(m+1)}\) O exercício diz que \(v\) e \(w\) devem ser paralelos, isto é, \(w = \alpha v\) para algum \(\alpha\). Então podemos fazer as seguintes igualdades: \(2OA = \alpha \frac{OA}{m+a}; -3OB= -\alpha \frac{OB}{2}; OC = \alpha \frac{(m-1)OC}{2(m+1)}.\) (errata: onde está \(m+a\) na primeira igualdade acima leiam \(m+1\)) Da segunda igualdade sai \(\alpha = 6\). Substituindo na primeira sai que \(m = 2\) que resolve a questão. Por favor, dá uma olhada nos passos e se lgo não estiver claro manda pra cá pra gente tentar elucidar. |
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