Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Como começo ?

ENUNCIADO : Considere os triângulos retângulos PQR e PQS da figura a seguir.
Se RS=100, quanto vale PQ?

Basta chamar QR = x e PQ = y.

No triângulo PQS, temos:

tg 30° = PQ/QS

√3/3 = y/(100+x)

y = (√3/3) * (100 + x)

No triângulo PQR:

tg 60° = PQ/QR

√3 = y/x

y = √3*x

Igualando os valores para y, temos:

(√3/3) * (100+x) = √3*x

x = (100+x)/3

3x = 100 + x

x = 50

Logo:

y = √3*x --> y = 50√3

PQ = X
QR = Y

x/y = tg 60
x = \(\sqrt{3}\)y

x/(y+100) = tg 30
x = \(\sqrt{3}\)y/3+100\(\sqrt{3}\)/3

\(\sqrt{3}\)y = \(\sqrt{3}\)y/3+100\(\sqrt{3}\)/3
\(\sqrt{3}\)y - \(\sqrt{3}\)y/3 = 100\(\sqrt{3}\)/3
2\(\sqrt{3}\)y/3 = 100\(\sqrt{3}\)/3
y = 100/2
y = 50
logo,
x = \(\sqrt{3}\)y
x = 50\(\sqrt{3}\)

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Bom dia!

Pensei de forma diferente!

No triângulo \(\Delta PRS\) temos que o ângulo externo \(\widehat{R}\) vale \(60^{\circ}\). Este ângulo é a soma dos internos não adjacentes \(\widehat{S}\) e \(\widehat{P}\).
Então:
\(\widehat{S}+\widehat{P}=\widehat{R}_{externo}
30^{\circ}+\widehat{P}=60^{\circ}
\widehat{P}=30^{\circ}\)

Então, como os ângulos \(\widehat{P}\) e \(\widehat{S}\)no triângulo \(\Delta PRS\) são iguais este triângulo é isósceles. Os lados \(\overline{RS} = 100\) e \(\overline{RP}\) tem mesmas medidas.
Agora, no triângulo \(\Delta PQR\) já temos \(\overline{PR} = 100\).
Só aplicar a definição de seno para o ângulo \(\widehat{R}\):
\(\sin{60^{\circ}}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{PR}}
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\overline{PQ}}{100}
\overline{PQ}=50\sqrt{3}\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles