Olá smgp77!
Fizeste muito bem até aí, devias ter continuado, porque repara que \(s^2-s=s(s-1)\) sendo assim, o \((s-1)\) corta e o \(s\) passa para o outro lado a dividir ficando o tão esperado resutado: \(\mathcal{L}\{y\}=\frac{1}{s((s-1)^2+1)}\)
Pronto apartir daqui já podemos fazer a transformada inversa:
Reduzindo em frações simples podemos dizer que:
\(\frac{1}{s((s-1)^2+1)}=\frac{1}{2}\times\frac{2-s}{s(s^2-2s+2)}+\frac{1}{2s}\)
\(= \frac{1}{2}(-\frac{s-1}{(s-1)^2+1}+\frac{1}{(s-1)^2+1}+\frac{1}{s})\)
Fazendo a transformada inversa:
\(\frac{1}{2}(-e^{t}cos(t)+e^{t}sin(t)+1)\)
Podes confirmar
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... %27%3D%28e^t%29*cos%28t%29%2Cy%280%29%3D0%2C+y%27%280%29%3D0.
Nota: A transformada de \(\frac{1}{s}\) é 1 pois \(t>0\) se \(t\) tomasse todos os valores era \(u(t)\). É uma falha do enunciado, pois t tem que ser > 0 para se poder aplicar estas regras das derivadas senão não era possível...
Espero ter ajudado,
Alguma dúvida não hesites
Cumprimentos,
Eduardo Fernandes