Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde tenho dúvidas na demonstraçao deste exercicio com a serie de Fourier será que alguem me poderia ajudar?
Cumprimentos

Em relação à pergunta a) tem apenas de calcular o integral por partes (deriva x e primitiva sen(nx))

\(v=x\)
\(v'=1\)

\(u'=sen(nx)\)
\(u=-cos(nx)/n\)

\(\int_0^{\pi}xsen(nx)dx=\left[-x\cos(nx)/n \right]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}sen(nx)dx=\left[-x\cos(nx)/n \right]_0^{\pi}-\left[-\cos(nx)/n \right]_0^{\pi}=\left[\cos(nx)/n(1-x) \right]_0^{\pi}=...\)

se as contas não me falham

continue...

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Os coeficientes da séria de Fourier de f(x) são tais que

\(f(x)=a_0 + \sum_{k=1}{+\infty}\[a_kcos(kx)+b_ksen(kx)\]\)

em que

\(a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\)
\(a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(kx)dx\)
\(b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sen(kx)dx\)

Como a função é ímpar, só os termos \(b_k\) são diferentes de zero.
\(b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sen(kx)dx=\)
\(b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}-x.sen(kx)dx+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}-x.sen(kx)dx=\)
\(b_k=-2\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x.sen(kx)dx=\)
usando o resultado de a)
\(b_k=-2\frac{1}{\pi}(-1)^{n+1}\frac{\pi}{n}=\)
\(b_k= (-1)^{n}\frac{2}{n}\)

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

no final chego a ({-pi}{n} +1 = (-1)^{n+1}* {pi}/{n} está correto?

a soluçao final deu-me:

f~ \(\frac{pi}{2}\) +\(\sum (-1)^{n} * \frac{2}{n} sen (nx)\) está correto?