Dúvidas na utilização da série de Fourier

[smgp77]

Boa tarde tenho dúvidas na demonstraçao deste exercicio com a serie de Fourier será que alguem me poderia ajudar?
Cumprimentos

Anexos

[João P. Ferreira]

Em relação à pergunta a) tem apenas de calcular o integral por partes (deriva x e primitiva sen(nx))

\(v=x\)
\(v'=1\)

\(u'=sen(nx)\)
\(u=-cos(nx)/n\)

\(\int_0^{\pi}xsen(nx)dx=\left[-x\cos(nx)/n \right]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}sen(nx)dx=\left[-x\cos(nx)/n \right]_0^{\pi}-\left[-\cos(nx)/n \right]_0^{\pi}=\left[\cos(nx)/n(1-x) \right]_0^{\pi}=...\)

se as contas não me falham

continue...

[josesousa]

Os coeficientes da séria de Fourier de f(x) são tais que

\(f(x)=a_0 + \sum_{k=1}{+\infty}\[a_kcos(kx)+b_ksen(kx)\]\)

em que

\(a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\)
\(a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(kx)dx\)
\(b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sen(kx)dx\)

Como a função é ímpar, só os termos \(b_k\) são diferentes de zero.
\(b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sen(kx)dx=\)
\(b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}-x.sen(kx)dx+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}-x.sen(kx)dx=\)
\(b_k=-2\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x.sen(kx)dx=\)
usando o resultado de a)
\(b_k=-2\frac{1}{\pi}(-1)^{n+1}\frac{\pi}{n}=\)
\(b_k= (-1)^{n}\frac{2}{n}\)

[smgp77]

no final chego a ({-pi}{n} +1 = (-1)^{n+1}* {pi}/{n} está correto?

[smgp77]

a soluçao final deu-me:

f~ \(\frac{pi}{2}\) +\(\sum (-1)^{n} * \frac{2}{n} sen (nx)\) está correto?