T.Laplace inversa de (s^2-1)^(-2)

[a.carrelhas]

Boa tarde,

Não consigo saber a funçao cuja transformada de laplace é: (s^2-1)^(-2)

eu decomponho em fracçoes simples

eu chego a: A/(s^2-1) + B/ (s-1) + C/ (s+1)^2 + D/(s+1) e nao consigo sair daqui.

Alguma ideia ?

Obrigada.

[João P. Ferreira]

Meu caro

Está a decompor erradamente

Veja

\((s^2-1)^{-2}=\frac{1}{(s^2-1)^2}=\frac{1}{((s+1)(s-1))^2}=\frac{1}{(s+1)^2(s-1)^2}= \\
\\
=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1)^2}+\frac{C}{s-1}+\frac{D}{(s-1)^2}\)

Cumprimentos

[a.carrelhas]

diga-me so como é que achava as constantes A, B, C e D.


Obrigada.

[João P. Ferreira]

Continuando...

\(\frac{1}{(s+1)^2(s-1)^2}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1)^2}+\frac{C}{s-1}+\frac{D}{(s-1)^2} \ <=>\)

\(<=>\ 1=A(s+1)(s-1)^2+B(s-1)^2+C(s+1)^2(s-1)+D(s+1)^2 \ <=>\)

Resolvendo ficamos com:

\(<=>\ 1=s^3(A+C) +s^2(-A+B+C+D)+s(-A-2B-C+2D)+(A+B-C+D)\)

Basta então resolver o sistema

\(\begin{cases} A+C=0 \\ -A+B+C+D=0 \\ -A-2B-C+2D=0 \\A+B-C+D=0 \end{cases}\)

Resolvendo

\(\begin{cases} A=\frac{1}{4} \\ B=\frac{1}{4} \\ C=-\frac{1}{4} \\D=\frac{1}{4} \end{cases}\)

Temos então...

\(\frac{1}{(s+1)^2(s-1)^2}=\frac{1}{4}(\frac{1}{s+1}+\frac{1}{(s+1)^2}-\frac{1}{s-1}+\frac{1}{(s-1)^2}) \ <=>\)


Agora é só fazer a inversa de transformada de Laplace e dá

\(f(t)=\frac{1}{4}(e^{-t}+e^{-t}t-e^t+e^{t}t)\)

Cumprimentos e volta sempre

[a.carrelhas]

porque é que, por exemplo, a constante A só multiplica por dois denominadores em vez de os três como é habitual?

Obrigada pela ajuda.

[a.carrelhas]

ahhh já percebii !!


Desculpe o incomodo e muito obrigada.

Cumprimentos,

Ana Carrelhas

[a.carrelhas]

Já agora como é que decomponha esta e descobria as respectivas constantes? :


(s-2) / (s+1)(s+1)

obrigada

[João P. Ferreira]

Cara Ana

Uma pergunta por tópico

é o que dizem as regras...

Fico à espera

Cumprimentos

[João P. Ferreira]

ahhh já percebii !!


Desculpe o incomodo e muito obrigada.

Cumprimentos,

Ana Carrelhas

Não tem de quê cara Ana.

Seja bem-vinda