Integral de linha

[danjr5]

Calcule \(\oint_{C}^{} \frac{yx^2 dx - x^3 dy}{(x^2 + y^2)^2}\), onde \(C\) é a curva dada pela equação \(\frac{x^2}{4} + \left(y - \frac{1}{3}\right)\left(y - \frac{1}{3}\right) = 1\), percorrida no sentido anti-horário.

Tentei assim:
após verificar se o campo é conservativo, conclui que ele não é, pois são distintos...

\(\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{x^2 - 2x^2y^2}{(x^2 + y^2)^3}\)

\(\frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{4x^4 - 3x^2}{(x^2 + y^2)^3}\)

Aplicando o Teorema de Green:
\(\oint_{C}^{} F dr = \int \int_{D}^{}\left ( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right )dxdy\)

\(\oint_{C}^{} F dr = \int \int_{D}^{}\frac{4x^4 + 2x^2y^2 - 4x^2}{(x^2 + y^2)^2}dxdy\)


Fazendo uma mudança polar, tem-se \(0 \leq \theta \leq 2\pi\).

Substituindo x por \(r.cos\theta\) e y por \(r.sen\theta\) na curva, encontrei:

\(9r^2 - 6.sen\theta.r - 35 = 0\)

Acho que o intervalo de r (raízes da equação acima) ficou meio 'estranho'.

Será que estou errando no raciocínio ou conta? Poderiam me ajudar?!

Talvez, haja outro caminho!

Desde já agradeço.

Daniel

[josesousa]

Acho que há um erro no cálculo das derivadas parcias...

\(F_1 = \frac{x^2y}{(x^2+y^2)^2}\)
\(F_2 = \frac{-x^3}{(x^2+y^2)^2}\)

\(\frac{\partial F1}{\partial y} = \frac{x^2.(x^2+y^2)^2 - x^2.y.2(x^2+y^2).2y}{(x^2+y^2)^4}=\frac{x^2.(x^2+y^2) - x^2.4y^2}{(x^2+y^2)^3}=\frac{x^4-3x^2.y^2}{(x^2+y^2)^3}\)


\(\frac{\partial F2}{\partial x} =\frac{-3x^2.(x^2+y^2)^2+x^3.(x^2+y^2).2x}{(x^2+y^2)^4} =\frac{-x^4 -3x^2y^2}{(x^2+y^2)^3}\)

[danjr5]

Tens razão José Sousa,
errei nas duas derivadas parciais!!
Grato.

\(\oint_{C}^{}F dr = \int \int_{D}^{} \frac{- x^4 - 3x^2y^2 - x^4 + 3x^2y^2}{(x^2 + y^2)^3}dxdy\)

\(\oint_{C}^{}F dr = \int \int_{D}^{} \frac{- 2x^4}{(x^2 + y^2)^3}dxdy\)

Ainda assim, estou encontrando dificuldade em determinar o intervalo de integração de r!

\(\int \int_{D}^{} \frac{- 2x^4}{(x^2 + y^2)^3}dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{}^{} \frac{- 2cos^4\theta}{r}drd\theta\)