Integral de linha - 2
03 jun 2012, 19:14
danjr5 Escreveu:Calcule \(\int_{\lambda}^{}ydx + x^2dy\) onde\(\lambda\) é uma curva, cuja imagem é o segmento de extremidades (1, 1) e (2, 2), orientada de (1, 1) para (2, 2).
Fiz assim:
\(F(x, y) = (y, x^2)\)
\(\frac{\partial F_1}{\partial y} = 1\)
\(\frac{\partial F_2}{\partial x} = 2x\)
Como o campo vetorial não é conservativo, não posso aplicar o Teorema \(\oint_{\lambda}^{}F.dr = f(2,2) - f(1,1)\).
Então, pelo Teorema de Green:
\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{}^{}\int_{D}^{}\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)dxdy\)
\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\int_{1}^{2}(2x - 1)dxdy\)
\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\left[x^2 - x \right]_{1}^{2}dy\)
\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}2dy\)
\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = \left[2y \right]_{1}^{2}\)
\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = 2\)
Mas, de acordo com o gabarito a resposta certa é \(\frac{23}{6}\).
Desde já agradeço.
Att,
Daniel.
Re: Integral de linha - 2
03 jun 2012, 21:03
O teorema de Green usa-se para calcular integrais de linha de caminhos fechados, o que não é o caso.
Sugire que tente pela definição e, se não der, podemos usar o teorema de Green em que \(\lambda\) é um dos troços desse caminho fechado.
Sugire que tente pela definição e, se não der, podemos usar o teorema de Green em que \(\lambda\) é um dos troços desse caminho fechado.
Re: Integral de linha - 2
03 jun 2012, 21:35
Farei isso e, em breve estarei retornando!
Grato.
Grato.
Re: Integral de linha - 2
03 jun 2012, 21:58
Parametrizando \(\lambda\), \(\sigma(t) = (t,t) =====> \sigma'(t) = (1,1)\)
x = t
dx = dt
y = t
dy = dt
\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}t.dt + t^2.dt\)
\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}(t + t^2)dt\)
\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \left [\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \right ]_{1}^{2}\)
\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = 2 + \frac{8}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\)
\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \frac{23}{6}\)
x = t
dx = dt
y = t
dy = dt
\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}t.dt + t^2.dt\)
\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}(t + t^2)dt\)
\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \left [\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \right ]_{1}^{2}\)
\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = 2 + \frac{8}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\)
\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \frac{23}{6}\)
Re: Integral de linha - 2
03 jun 2012, 23:00
É a forma mais fácil.
No entanto, às vezes podemos construir uma figura fechada (triângulo, por exemplo), composta por n troços. QUeremos calcular o integral de linha num dos troços, mas a expressão é complicada. Mas usando o teorema de Green, que dá o valor do integral nos n troços (total), e subtraindo os n-1 integrais nos troços restantes, podemos também calcular o integral pedido
Não vou agora desenhar uma figura a título de exemplo, mas acho que se percebe
Saudações pitagóricas!
No entanto, às vezes podemos construir uma figura fechada (triângulo, por exemplo), composta por n troços. QUeremos calcular o integral de linha num dos troços, mas a expressão é complicada. Mas usando o teorema de Green, que dá o valor do integral nos n troços (total), e subtraindo os n-1 integrais nos troços restantes, podemos também calcular o integral pedido
Não vou agora desenhar uma figura a título de exemplo, mas acho que se percebe
Saudações pitagóricas!