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| Parametrização de superficie- parabolóide eliptico https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=26&t=11482 |
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| Autor: | VitorPaguiar14 [ 04 jul 2016, 16:36 ] |
| Título da Pergunta: | Parametrização de superficie- parabolóide eliptico |
Olá, estou com uma dúvida em parametrizar essa superfície: Z=5-(x^2/2)-(y^2), é um parabolóide eliptico. As coordenadas elipticas são x= a*r*cos(teta); y=b*r*sin(teta), em que r=raio e a,b são coeficientes para garantir a igualdade sin^2(teta)+cos^2(teta)=1 ... Mas esta superficie não estou a conseguir. obrigado! |
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| Autor: | Sobolev [ 05 jul 2016, 09:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Parametrização de superficie- parabolóide eliptico |
Se não pedem um sistema especifico de coordenadas, pode manter as que existem.... \(S =\{(x, y, 5-\frac{x^2}{2}-y^2): x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R} \}\) |
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| Autor: | jorgeluis [ 05 jul 2016, 14:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Parametrização de superficie- parabolóide eliptico |
Equação Geral do Parabolóide Eliptico: \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}\) como, \(Z=5-\frac{x^2}{2}-y^2\) então, \(-\frac{x^2}{2}-y^2=z-5\) multiplicando a equação por \(-\frac{1}{2}\), temos: \(\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{2}=\frac{5-z}{2}\) como, \(x= a.r.cos \theta; y=b.r.sen \theta\) e, \(cos^2 \theta+sin^2 \theta=1\) então, \(\frac{x^2}{(a.r)^2}+\frac{y^2}{(b.r)^2}=\frac{5-z}{2} a.r=2 b.r=\pm\sqrt{2} 5-z=2\) logo, a parametrização fica: \(\left.\begin{matrix} x= & 2.cos \theta\\ y= & \pm\sqrt{2}. sen \theta\\ z= & 3.(sen^2 \theta + cos^2 \theta) \end{matrix}\right\} \forall, 0 \leq \theta \leq 2k\pi\) |
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| Autor: | Sobolev [ 05 jul 2016, 18:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Parametrização de superficie- parabolóide eliptico |
Jorge, a sua parametrização não funciona, desde logo porque, ao depender de um único parâmetro ela define uma linha e não uma superfície. Além disso, ela implicaria por exemplo que \(-2 \leq x \leq 2\), o que não é verdade. Trata-se de uma superfície que se extende por todo o plano. |
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| Autor: | VitorPaguiar14 [ 05 jul 2016, 21:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Parametrização de superficie- parabolóide eliptico |
exatamente Sobolev |
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| Autor: | Sobolev [ 06 jul 2016, 09:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Parametrização de superficie- parabolóide eliptico |
Alternativamente, que não quiser usar as coordenadas cartesianas na parametrização (embora seja o modo mais simples), pode fazer a mudança de variáveis que propõe, isto é, \(x = \sqrt{2} r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\). Sesse modo tem que \(z = 5- \frac{(\sqrt{2} r \cos \theta )^2}{2} - r^2 \sin^2 \theta = 5- r^2\) Assim, a parametrização seria \(S = \{ (\frac{\sqrt{2}}{2} r \cos \theta, r \sin \theta, 5 -r^2), 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq r < +\infty\}\) |
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