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Eu aprendi a fazer parametrizações de retas, planos simples, circunferências e elipses, mas quando envolve mais de uma equação, eu me perco. Eu gostaria de saber como fazer uma parametrização conveniente (para que a derivada e a integral sejam simples) dos seguintes sistemas de equações como o exercício descreve.

Como fazer as parametrizações da (vi) e da (vii)? Eu olho para a questão (vi), penso em considerar o parâmetro t = $$sqrt(x-1)$$, mas esse é o quão longe eu vou, porque não tenho ideia do que fazer. Por exemplo, com uma equação, na (ii), eu enxergo a reta no plano yz, e varia no eixo x, formando um plano.

(Só a resposta final não ajuda muito. Eu quero elaborar, discutir e aprender essa matéria.)

Em princípio, o número de equações não importa. Como regra geral, se houver n variáveis e k < n equações, e suficiente exprimir quaisquer k variáveis em termos das outras v - k variáveis. O teorema das funções implícitas garante que isto é possível pelo menos numa visinhança de um ponto não singular. Por exemplo, em caso de três variáveis e duas equações, preciso é exprimir duas variáveis em termos da terceira. Muitas vezes cada variável pode ser tomada por independente e pode-se fazer a escolha de maneira que o sistema fique mais simples de resolver. Na alínea (vi) é fácil tomar qualquer variável por parámetro. Na alínea (vii) seria menos conveniente tentar resolver a primeira equação em termos de z, por isso acho mais fácil tomar z por parámetro.

Já alínea (ii) parece suspeita. De verdade, é um plano (sabe-se perfeitamente que Ax + By + Cz + D = 0, onde pelo menos um dos coeficientes A, B, C não é 0, é a equação geral do plano). Mas um plano não pode ser parametrizado por um só parámetro. Aliás, é muito estranho ver 4 num lado é 5 no outro.

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Se houver n (equações) > k (variáveis)? Porém, há mais variáveis do que equações em todos os casos. No seu post, "v" na relação "v - k" deveria ser "n", o número de equações?

Independente disso, certo, o número de equações não importa porque para parametrizar, basta exprimir, por exemplo no R^3, duas variáveis em função da outra.

Em anexo, está como eu fiz as parametrizações do item (i) e do item (vi). Primeiramente, elas estão corretas? Assumindo que estejam, a parametrização da curva do item (vi) é ineficiente, pois o processo de derivar e integrar não é muito rápido, já que tem raiz quadrada de (t - 1) envolvida.

Eu preciso de uma parametrização eficiente, que fique no formato

x(t) = A + Bt + Ct^2
y(t) = D + Et + Ft^2
z(t) = G + Ht + It^2

em que A, B, C, D, E, F, G, H, I sejam números simples que não envolvam raiz. Como fazer isso? Obrigado, desde já, pela ajuda.

Obs.: Meu professor cobra que a parametrização seja fácil de derivar e integrar, já que as provas aplicadas serão longas e não haverá tempo de integrar as parametrizações por métodos mais demorados.

Não sei se pode postar duas vezes em seguida, mas como é uma questão por tópico, a questão em que eu estou em dúvida são os (vi) e (vii), mas eu escolho a (vi), porque se essa for resolvida com uma parametrização eficiente, a (vii) deve ficar mais simples.

Na minha mensagem anterior, n é o número de variáveis e k, de equações; k < n.

Os cálculus estão corretos.

Em (i), para não ter de resolver uma inequação, pode-se por y = t e encontrar x. Aliás, acho melhor escrever a inequação dupla na forma 8 ≤ t < 28.

Diria que não há problemas com (vi), que a raiz se deriva e se integra perfeitamente. Mas se não gosta, pode reparametrizar usando \(t = \sqrt{x-1}\).

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