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Parametrização conveniente de um sistema de equações https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=26&t=13188 |
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Autor: | MikeAlexBillsZ [ 27 set 2017, 08:16 ] | ||
Título da Pergunta: | Parametrização conveniente de um sistema de equações | ||
Eu aprendi a fazer parametrizações de retas, planos simples, circunferências e elipses, mas quando envolve mais de uma equação, eu me perco. Eu gostaria de saber como fazer uma parametrização conveniente (para que a derivada e a integral sejam simples) dos seguintes sistemas de equações como o exercício descreve. Como fazer as parametrizações da (vi) e da (vii)? Eu olho para a questão (vi), penso em considerar o parâmetro t = $$sqrt(x-1)$$, mas esse é o quão longe eu vou, porque não tenho ideia do que fazer. Por exemplo, com uma equação, na (ii), eu enxergo a reta no plano yz, e varia no eixo x, formando um plano. (Só a resposta final não ajuda muito. Eu quero elaborar, discutir e aprender essa matéria.)
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Autor: | Estanislau [ 27 set 2017, 11:59 ] |
Título da Pergunta: | Re: Parametrização conveniente de um sistema de equações |
Em princípio, o número de equações não importa. Como regra geral, se houver n variáveis e k < n equações, e suficiente exprimir quaisquer k variáveis em termos das outras v - k variáveis. O teorema das funções implícitas garante que isto é possível pelo menos numa visinhança de um ponto não singular. Por exemplo, em caso de três variáveis e duas equações, preciso é exprimir duas variáveis em termos da terceira. Muitas vezes cada variável pode ser tomada por independente e pode-se fazer a escolha de maneira que o sistema fique mais simples de resolver. Na alínea (vi) é fácil tomar qualquer variável por parámetro. Na alínea (vii) seria menos conveniente tentar resolver a primeira equação em termos de z, por isso acho mais fácil tomar z por parámetro. Já alínea (ii) parece suspeita. De verdade, é um plano (sabe-se perfeitamente que Ax + By + Cz + D = 0, onde pelo menos um dos coeficientes A, B, C não é 0, é a equação geral do plano). Mas um plano não pode ser parametrizado por um só parámetro. Aliás, é muito estranho ver 4 num lado é 5 no outro. |
Autor: | MikeAlexBillsZ [ 27 set 2017, 13:34 ] |
Título da Pergunta: | Re: Parametrização conveniente de um sistema de equações |
Não sei se pode postar duas vezes em seguida, mas como é uma questão por tópico, a questão em que eu estou em dúvida são os (vi) e (vii), mas eu escolho a (vi), porque se essa for resolvida com uma parametrização eficiente, a (vii) deve ficar mais simples. |
Autor: | Estanislau [ 27 set 2017, 18:56 ] |
Título da Pergunta: | Re: Parametrização conveniente de um sistema de equações [resolvida] |
Na minha mensagem anterior, n é o número de variáveis e k, de equações; k < n. Os cálculus estão corretos. Em (i), para não ter de resolver uma inequação, pode-se por y = t e encontrar x. Aliás, acho melhor escrever a inequação dupla na forma 8 ≤ t < 28. Diria que não há problemas com (vi), que a raiz se deriva e se integra perfeitamente. Mas se não gosta, pode reparametrizar usando \(t = \sqrt{x-1}\). |
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