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| Integral de linha https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=26&t=433 |
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| Autor: | danjr5 [ 03 jun 2012, 01:33 ] |
| Título da Pergunta: | Integral de linha |
danjr5 Escreveu: Calcule \(\oint_{C}^{} \frac{yx^2 dx - x^3 dy}{(x^2 + y^2)^2}\), onde \(C\) é a curva dada pela equação \(\frac{x^2}{4} + \left(y - \frac{1}{3}\right)\left(y - \frac{1}{3}\right) = 1\), percorrida no sentido anti-horário. Tentei assim: após verificar se o campo é conservativo, conclui que ele não é, pois são distintos... \(\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{x^2 - 2x^2y^2}{(x^2 + y^2)^3}\) \(\frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{4x^4 - 3x^2}{(x^2 + y^2)^3}\) Aplicando o Teorema de Green: \(\oint_{C}^{} F dr = \int \int_{D}^{}\left ( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right )dxdy\) \(\oint_{C}^{} F dr = \int \int_{D}^{}\frac{4x^4 + 2x^2y^2 - 4x^2}{(x^2 + y^2)^2}dxdy\) Fazendo uma mudança polar, tem-se \(0 \leq \theta \leq 2\pi\). Substituindo x por \(r.cos\theta\) e y por \(r.sen\theta\) na curva, encontrei: \(9r^2 - 6.sen\theta.r - 35 = 0\) Acho que o intervalo de r (raízes da equação acima) ficou meio 'estranho'. Será que estou errando no raciocínio ou conta? Poderiam me ajudar?! Talvez, haja outro caminho! Desde já agradeço. Daniel |
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| Autor: | josesousa [ 03 jun 2012, 21:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral de linha |
Acho que há um erro no cálculo das derivadas parcias... \(F_1 = \frac{x^2y}{(x^2+y^2)^2}\) \(F_2 = \frac{-x^3}{(x^2+y^2)^2}\) \(\frac{\partial F1}{\partial y} = \frac{x^2.(x^2+y^2)^2 - x^2.y.2(x^2+y^2).2y}{(x^2+y^2)^4}=\frac{x^2.(x^2+y^2) - x^2.4y^2}{(x^2+y^2)^3}=\frac{x^4-3x^2.y^2}{(x^2+y^2)^3}\) \(\frac{\partial F2}{\partial x} =\frac{-3x^2.(x^2+y^2)^2+x^3.(x^2+y^2).2x}{(x^2+y^2)^4} =\frac{-x^4 -3x^2y^2}{(x^2+y^2)^3}\) |
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| Autor: | danjr5 [ 03 jun 2012, 21:32 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral de linha |
Tens razão José Sousa, errei nas duas derivadas parciais!! Grato. \(\oint_{C}^{}F dr = \int \int_{D}^{} \frac{- x^4 - 3x^2y^2 - x^4 + 3x^2y^2}{(x^2 + y^2)^3}dxdy\) \(\oint_{C}^{}F dr = \int \int_{D}^{} \frac{- 2x^4}{(x^2 + y^2)^3}dxdy\) Ainda assim, estou encontrando dificuldade em determinar o intervalo de integração de r! \(\int \int_{D}^{} \frac{- 2x^4}{(x^2 + y^2)^3}dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{}^{} \frac{- 2cos^4\theta}{r}drd\theta\) |
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