Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Fiz assim:
\(F(x, y) = (y, x^2)\)

\(\frac{\partial F_1}{\partial y} = 1\)

\(\frac{\partial F_2}{\partial x} = 2x\)

Como o campo vetorial não é conservativo, não posso aplicar o Teorema \(\oint_{\lambda}^{}F.dr = f(2,2) - f(1,1)\).

Então, pelo Teorema de Green:
\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{}^{}\int_{D}^{}\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)dxdy\)

\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\int_{1}^{2}(2x - 1)dxdy\)

\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\left[x^2 - x \right]_{1}^{2}dy\)

\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}2dy\)

\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = \left[2y \right]_{1}^{2}\)

\(\oint_{\lambda}^{}F.dr = 2\)

Mas, de acordo com o gabarito a resposta certa é \(\frac{23}{6}\).

Desde já agradeço.

Att,

Daniel.

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Daniel Ferreira
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O teorema de Green usa-se para calcular integrais de linha de caminhos fechados, o que não é o caso.

Sugire que tente pela definição e, se não der, podemos usar o teorema de Green em que \(\lambda\) é um dos troços desse caminho fechado.

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Farei isso e, em breve estarei retornando!

Grato.

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Daniel Ferreira
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Parametrizando \(\lambda\), \(\sigma(t) = (t,t) =====> \sigma'(t) = (1,1)\)

x = t
dx = dt

y = t
dy = dt

\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}t.dt + t^2.dt\)

\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}(t + t^2)dt\)

\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \left [\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \right ]_{1}^{2}\)

\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = 2 + \frac{8}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\)

\(\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \frac{23}{6}\)

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Daniel Ferreira
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É a forma mais fácil.

No entanto, às vezes podemos construir uma figura fechada (triângulo, por exemplo), composta por n troços. QUeremos calcular o integral de linha num dos troços, mas a expressão é complicada. Mas usando o teorema de Green, que dá o valor do integral nos n troços (total), e subtraindo os n-1 integrais nos troços restantes, podemos também calcular o integral pedido

Não vou agora desenhar uma figura a título de exemplo, mas acho que se percebe

Saudações pitagóricas!

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928