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Calcule a integral de linha \(\int_{C}\frac{y}{x} ds\) , \(C = (t^{4}, t^{3})\ t\in [0,1]\), onde C é a curva dada.

Fiz os quadrados das derivadas de x e y e cheguei na seguinte expressão:

\(\int_{0}^{1}(\frac{^{t^{3}}}{t^{4}})\sqrt{16{}t^{9}+9{}t^{4}}dt\) =

\(\int_{0}^{1}(\frac{^{1}}{t})\sqrt{16{}t^{9}+9{}t^{4}}dt\)

Mas aí travei nessa ultima parte . Tentei fazer \(u=16{}t^{9}+9{}t^{4}\) e \(du=(144{}t^{8}+36{}t^{3})dt\), mas não me parece correto.

a derivada da parametrização, pois estamos num campo escalar é

\(|C'(t)|=\sqrt{((t^4)')^2+((t^3)')^2}=\sqrt{(4t^3)^2+(3t^2)^2}=\sqrt{16t^6+9t^4}\)

lembre-se que \((a^b)^c=a^{b.c}\)

então fica

\(\int_{0}^{1}\frac{1}{t}\sqrt{16t^6+9t^{4}}dt\)

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João Pimentel Ferreira
 
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\(\int_{0}^{1}\frac{1}{t}\sqrt{t^{4}(16{}t^{2}+9)}dt=\)\(\int_{0}^{1}\frac{t^{2}}{t}\sqrt{16{}t^{2}+9} dt=\)\(\int_{0}^{1}t\sqrt{16{}t^{2}+9} dt\)

Fazendo:

\(u=16{}t^{2}+9\)
\(du=32t dt\)

A partir daí todos sabem resolver...