Parametrização para cálculo de uma integral de linha

[Cathnovais]

Calcule \(\int xzdy+xydy+dz\)
Sendo C \(x^2+y^2=z\) e y=z

Estou em dúvida mais quanto a parametrização..
Ajuda, por favor?

Ah, e na questão pede em sentido direto.. O que altera nesse caso?

[Sobolev]

Bom dia,

A linha definida pelas condições fixadas é uma elipse. Utilizar a sentido directo significa que o interior de elipse fica do lado esquerdo se nos imaginarmos a caminhar sobre a elipse. Para parametrizar a curva podemos escolher z=t como parâmetro, pelo que também teremos y = t e \(x = \pm \sqrt{t-t^2}\). Se quisermos obter uma expressão única para a parametrização podemos usar

\(g(t)=\left\{\begin{array}{rl} (\sqrt{t-t^2},t,t) & \quad t \in [0,1]\\ (-\sqrt{-(2-t)^2-t+2},2-t,2-t) & \quad t \in ]1,2[\end{array}\right.\)

O segundo ramo de g corresponde ao sinal negativo da raíz, modificado de modo ao parâmetro prosseguir a partir de t=1.