Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá amigos,
boa noite!
Tenho algumas dúvidas que estão me impedindo de dar prosseguimento no assunto.

- Como identificar a fórmula (representação paramétrica ou representação explícita) para calcular a integral?

Segue uma questão que tentei resolver por representação paramétrica, mas acho (com certeza) que está errada!


Como \(y \geq 0\), concluí que \(y = \sqrt{25 - x^2 - z^2}\).

\(F(x,y,z) = (xz, x, y) =======> F(\varphi(x,z)) = (xz, x, \sqrt{25 - x^2 - y^2})\)

A normal é dada por \(n = \frac{\frac{\partial y}{\partial x}i + \frac{\partial y}{\partial z}j - 1k}{\sqrt{\left ( \frac{\partial y}{\partial x} \right )^2 + \left ( \frac{\partial y}{\partial z}\right )^2 + 1}}\), pois a orientação é para 'dentro'.

\(\frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{x}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}}\)

\(\frac{\partial y}{\partial z} = - \frac{z}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}}\)


\(\int \int_{S}^{} F dS = \int \int_{D}^{} (xz, x, \sqrt{25 - x^2 - y^2})\left ( \frac{- x}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}} ,\frac{- z}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}}, - 1 \right)dA\)


\(\int \int_{S}^{} F dS = \int_{}^{} \int_{D}^{} \frac{x^2z}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}} - \frac{xz}{\sqrt{25 - x^2 - z^2}} - 1dA\)

Pensei numa Mudança Polar:
\(x = r.cos\theta\)

\(z = r.sen\theta\)

no intervalo \(0 \leq r \leq 5\) e \(0 \leq \theta \leq \pi\).

Desde já agradeço!

Att,

Daniel F.

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Daniel Ferreira
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A primeira coisa a fazer é parametrizar a superfície. Eu parametrizaria já com coordenadas esféricas, com r=5.

\(H(\theta, \psi) = (5.cos\theta.cos\psi, 5 sen\theta.cos\psi, 5 sen\psi ), \theta \in \[0, \pi\], \psi \in \[0, \pi \]\)

Depois, calcular

\(F(H(\theta, \psi)) = (25cos\theta.sen\theta.cos^2\psi, 5.cos\theta.cos\psi, 5sen\theta.cos\psi)\)

Agora temos de calcular a normal

Podemos faze-lo tendo em conta o produto externo de dois vectores que parametrizem a superfície

\(n =\frac{\partial{H}}{\partial \theta}\times\frac{\partial{H}}{\partial \psi}\)
e calculamos a norma unitária \(\hat{n} = n/||n||\), tendo o cuidado de multiplicar por -1 se a orientação não estiver de acordo com o problema.

Isso resultará no vector \(\hat{n}\).

Agora o integral a calcular é

\(\int_0^\pi \int_0^\pi F(H(\theta, \psi)).\hat{n} d\theta d\psi\)


Não vou agora escrever os cálculos numéricos, mas espero que ajude!

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

\(x = 5.sen\phi .cos\theta\)
\(y = 5.sen\phi .sen\theta\)
\(z = 5.cos\phi\)

\(\sigma (\phi ,\theta ) = (5.sen\phi .cos\theta ,5.sen\phi .sen\theta ,5.cos\phi ), 0 \leq \phi \leq \pi, 0\leq \theta \leq \pi\)

\(F(\sigma (\phi ,\theta )) = (25.sen\phi .cos\phi .cos\theta ,5.sen\phi .cos\theta ,5.sen\phi.sen\theta )\)

\(n = \frac{\partial \sigma }{\partial \phi }\times \frac{\partial \sigma }{\partial \theta }======> n = (25.sen^2\phi .cos\theta ,25.sen^2\phi .sen\theta ,25.sen\phi .cos\phi )\)

Segue que
\(\int \int_{S}^{}F.dS = \int_{0}^{\pi }\int_{0}^{\pi }F(\sigma (\phi ,\theta )).\left (\frac{\partial \sigma }{\partial \phi }\times \frac{\partial \sigma }{\partial \theta } \right )d\phi d\theta\)

= \(\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{\pi }(625.sen^3\phi .cos\phi .cos^2\theta + 125.sen^3\phi .sen\theta .cos\theta + 125.sen^2\phi .sen\theta .cos\phi ) d\phi d\theta\)

...

= 0

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Daniel Ferreira
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