Calcular o fluxo usando o Teorema da Divergência
29 dez 2012, 16:48
Boas, preciso de ajuda quanto a resolução deste exercicio.
Alguem pode ajudar? tenho dificuldades em aplicar o teorema da divergencia na pratica
Alguem pode ajudar? tenho dificuldades em aplicar o teorema da divergencia na pratica
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Re: Calcular o fluxo usando o Teorema da Divergência
02 jan 2013, 16:55
Olá
O teorema da divergência dita
\(\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_V\left(\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{F}\right)dV=\int\oint_S (\mathbf{F}\cdot\mathbf{n})\,dS\)
onde \(F\) é um campo vetorial, \(S\) é uma superfície fechada, e \(V\) é o volume dentro dessa superfície
No seu caso a superfície \(M\) é a semi-esfera de raio 1 e acima do plano \(z=0\)
A divergência de \(F\) é
\(\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}\)
assim
\(\nabla\cdot\mathbf{F}=z^2+y^2+x^2\)
Assim, terá de calcular
\(\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_V x^2 +y^2 +z^2 dV\)
agora use coordenadas esféricas onde \(r^2=x^2+y^2+z^2\)
O teorema da divergência dita
\(\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_V\left(\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{F}\right)dV=\int\oint_S (\mathbf{F}\cdot\mathbf{n})\,dS\)
onde \(F\) é um campo vetorial, \(S\) é uma superfície fechada, e \(V\) é o volume dentro dessa superfície
No seu caso a superfície \(M\) é a semi-esfera de raio 1 e acima do plano \(z=0\)
A divergência de \(F\) é
\(\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}\)
assim
\(\nabla\cdot\mathbf{F}=z^2+y^2+x^2\)
Assim, terá de calcular
\(\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_V x^2 +y^2 +z^2 dV\)
agora use coordenadas esféricas onde \(r^2=x^2+y^2+z^2\)
Re: Calcular o fluxo usando o Teorema da Divergência
05 jan 2013, 19:31
Muito obrigado pelo esclarecimento, já começo a entender. Uma das duvidas que ainda mantenho é o facto de calcular o fluxo "segundo a normal com terceira componente positiva"
O que é exactamente esta normal? e que consequencias praticas traz quanto à resolução do problema?
O que é exactamente esta normal? e que consequencias praticas traz quanto à resolução do problema?
Re: Calcular o fluxo usando o Teorema da Divergência
07 jan 2013, 23:51
O teorema da divergência é aplicável a normas EXTERIORES à superfície de integração. Se forem interiores, não esqueça o sinal de menos atrás do integral