Dúvida sobre Teorema de Stokes

[Andremarvao]

Boa noite.

Eu tenho uma dúvida no teorema de stokes que me anda a fazer confusão na cabeça. Se eu tiver uma superficie em R3, por exemplo, um paraboloide, se quando visto de cima o sentido em que percorremos o bordo for o horario, calculando o trabalho ao longo desse bordo dá um certo resultado. A minha duvida é a seguinte: quando o ponto de vista for de baixo, o resultado do trabalho vai ser o simetrico ou vai ser o mesmo?

Obrigado pela atenção

[josesousa]

Só depende da norma exterior. "quando o ponto de vista for de baixo, o resultado do trabalho vai ser o simetrico ou vai ser o mesmo?" não deve ser a pergunta. A pergunta é, "visto de cima", a norma exterior tem a direcção em z positiva, por exemplo. Já "visto de baixo"; a norma unitária exterior tem essa componente negativa. Ora o integral é calculado segundo a regra da mão direita, tendo em conta a norma exterior. Logo um integral é simétrico do outro.

[josesousa]

Já agora, isto tem lógica. A norma exterior define a direcção positiva do fluxo. Imagine que quer saber a quantidade de água que passa pelo parabolóide num instante. Se a norma unitária exterior for para baixo, calculamos a água que passa de cima para baixo, que é, obviamente, simétrica da que passa de baixo para cima (admitindo que o sinal se refere a direcções de fluxo)