Teorema de Stokes

[danjr5]

Use o Teorema de Stokes para calcular \(\int_{}^{}\int_{S}^{}rotF.dS\), onde \(F(x,y,z) = yzi + xzj + xyk\) e S é a parte da esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) que está dentro do cilindro x² + y² = 1 e acima do plano \(xy\)

Tentei assim:
Calculei o rotacional e encontrei zero;

De acordo com a definição
\(\int_{C}^{}F.dr = \int_{}^{}\int_{S}^{}rotF.dS\)

C => intersecção entre as superfícies;
\(z = \sqrt{3}\), já que,\(z \geq 0\)

Parametrizando o cilindro:
\(x = cost\)
\(y = sent\)
\(z = \sqrt{3}\)

Então,
\(\sigma(t) = (cost, sent, \sqrt[]{3}), 0 \leq t \leq 2\pi\)

\(\sigma'(t) = (- sent, cost, 0)\)

e,
\(F(\sigma(t)) = (\sqrt[]{3}sent, \sqrt[]{3}cost, sent.cost)\)

Daí,
\(\int_{C}^{}F.dr = \int_{0}^{2\pi}F(\sigma(t)).\sigma'(t)dt\)

\(\int_{C}^{}F.dr = \int_{0}^{2\pi}(- \sqrt[]{3}.sen^2t + \sqrt[]{3}.cos^2t + 0) dt\)

\(\int_{C}^{}F.dr = \int_{0}^{2\pi}\sqrt[]{3}.cos^2tdt\)

...

\(\int_{C}^{}F.dr = \pi\sqrt[]{3}\)

Segundo o gabarito do livro, a resposta correta é zero.

Onde estou errando?

Desde já agradeço.

Att,

Daniel F.

[josesousa]

Repara que, na tua resolução

\(\int_0^{2\pi} -\sqrt{3}.sen^2 t+\sqrt{3}.cos^2 t \neq \int_0^{2\pi} \sqrt{3}.cos^2 t\)

Aliás, integrando num intervalo de comprimento \(2\pi\) \(-sen^2\) e \(cos^2\) cancelam-se

[danjr5]

Entendi!!
Obrigado José Sousa.

\(\int_{0}^{2\pi}(-\sqrt[]{3}.sen^2t + \sqrt[]{3}.cos^2t)dt =\)

\(\int_{0}^{2\pi}\sqrt[]{3}(- sen^2t + cos^2t)dt =\)

\(\sqrt[]{3}\int_{0}^{2\pi}cos(2t)dt =\)

\(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\int_{0}^{2\pi}cos\alpha d\alpha =\)

\(\left[\frac{\sqrt[]{3}}{2}.sen(2t) \right]_{0}^{2\pi} =\)

\(0 - 0 =\)

\(0\)