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MensagemEnviado: 19 jan 2017, 01:16 
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De entre os vectores de R3 sobre o plano x + y − z = 1 e que são ortogonais ao vector (0, 2, 0), determine o que se encontra mais próximo do ponto (1, 1, 1).

Boa noite, eu não sei resolver este exercício e não encontrei outro parecido. Agradecia imenso que me ajudassem. É um exercício provável que saia no meu exame. Obrigado pela atenção!


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MensagemEnviado: 19 jan 2017, 10:43 
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Os pontos do plano podem ser obtidos dando a x e y todos os valores possíveis ( em R) e tomando depois z = x+y-1. De outro modo, são da forma

\((t,s,t+s-1), \quad t,s, \in \mathbb{R}\)

Assim, os vectores do plano que são ortogonais a (0,2,0) são os que verificam

\((0,2,0) \cdot (t,s,t+s-1)= 0 \Leftrightarrow 0 + 2s + 0 {=} 0\Leftrightarrow s{=}0\)

isto é, são os vectores da forma \((t,0,t-1) = (0,0,-1) + t(1,01)\).

Para concluir basta determinar qual o ponto da recta que está mais próximo de (1,1,1), ou seja, queremos minimizar a distancia

\(d((1,1,1); (t,0,t-1)) = \sqrt{(1-t)^2+(1-0)^2+(1-t+1)^2}\)

ou, de modo equivalente, minimizar \(f(t)=(1-t)^2+(1-0)^2+(1-t+1)^2\). Ora,

\(f'(t)=0 \Leftrightarrow - 2 (1-t) - 2(2-t)=0 \Leftrightarrow t = \frac 32\)

Como a função é convexa sabemos que para t=3/2 atingimos um mínimo global... O ponto pretendido é pois \((\frac 32, 0, \frac 12)\)


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