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| Determinar a distância mínima entre o ponto (0,1) e a curva x² = 4y. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=27&t=4207 |
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| Autor: | Neimar [ 05 nov 2013, 15:25 ] |
| Título da Pergunta: | Determinar a distância mínima entre o ponto (0,1) e a curva x² = 4y. |
Olá, não consigo resolver. Alguém pode ajudar? É preciso resolver com ∇f(x,y), multiplicadores de Lagrange, hessiano etc. |
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| Autor: | Sobolev [ 05 nov 2013, 16:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar a distância mínima entre o ponto (0,1) e a curva x² = 4y. |
Neste caso a resolução pode ser feita através da mimimização de uma função real... a distância a minimizar é \(d((0,1),(x, x^2/4))= \sqrt{(x-0)^2 + (x^2/4-1)^2}\) Os extremantes desta função são soluções da equação \(2x + x(x^2/4-1)=0\) cuja única solução real é x = 0. Assim, por substituição na função objectivo vemos que o valor mínimo da distância será 1. |
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| Autor: | Neimar [ 05 nov 2013, 17:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar a distância mínima entre o ponto (0,1) e a curva x² = 4y. |
Obrigado Sobolev, mas ainda estou em dúvida nos passos intermediários. |
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| Autor: | Sobolev [ 05 nov 2013, 17:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar a distância mínima entre o ponto (0,1) e a curva x² = 4y. |
Qualquer ponto da curva \(x^2 = 4 y\) é da forma \(( x , x^2/4)\). Assim, a distância de um ponto genérico da curva até ao ponto (0,1) é dada por \(d = \sqrt{(x-0)^2 + (x^2/4 - 1)^2}\) Esta função apenas depende de x e pode determinar o seu mínimo absoluto (ou global), que no caso é 1. Agora tem que tentar estudar esta função d ... |
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