Determinar a distância mínima entre o ponto (0,1) e a curva x² = 4y.

[Neimar]

Olá, não consigo resolver. Alguém pode ajudar?
É preciso resolver com ∇f(x,y), multiplicadores de Lagrange, hessiano etc.

[Sobolev]

Neste caso a resolução pode ser feita através da mimimização de uma função real... a distância a minimizar é

\(d((0,1),(x, x^2/4))= \sqrt{(x-0)^2 + (x^2/4-1)^2}\)

Os extremantes desta função são soluções da equação

\(2x + x(x^2/4-1)=0\)

cuja única solução real é x = 0. Assim, por substituição na função objectivo vemos que o valor mínimo da distância será 1.

[Neimar]

Obrigado Sobolev, mas ainda estou em dúvida nos passos intermediários.

[Sobolev]

Qualquer ponto da curva \(x^2 = 4 y\) é da forma \(( x , x^2/4)\). Assim, a distância de um ponto genérico da curva até ao ponto (0,1) é dada por

\(d = \sqrt{(x-0)^2 + (x^2/4 - 1)^2}\)

Esta função apenas depende de x e pode determinar o seu mínimo absoluto (ou global), que no caso é 1. Agora tem que tentar estudar esta função d ...