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MensagemEnviado: 21 set 2014, 21:46 
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Encontre a direção de maior crescimento da função \(f(x,y)=xe^{y}-ye^{2x}\), a partir do ponto\((a,b)=(0,0)\). Além disso, determine a derivada da função nessa direção.


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MensagemEnviado: 28 set 2014, 04:56 
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Riber Escreveu:
Encontre a direção de maior crescimento da função \(f(x,y)=xe^{y}-ye^{2x}\), a partir do ponto\((a,b)=(0,0)\). Além disso, determine a derivada da função nessa direção.


Pessoal,

Preciso que vocês verifiquem se meus cálculos estão corretos.
Resolvi da seguinte forma:

\(f(x,y)=xe^y-ye^{2x}\)
\(fx=e^y-ye^2\)
\({f(0,0)}={e}^{0}-{0}.{e}^{0}={1}\)

\(fy=xe^y-e^{2x}\)
\(f(0,0)=0.e^0-e^{2.0}=-1\)

\(\bigtriangledown f(0,0)=1i+(-1)j\)
\(\left | \bigtriangledown f(0,0) \right |=\sqrt{(1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\)

O cálculo é esse mesmo?


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MensagemEnviado: 28 set 2014, 22:44 
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Boa noite,


Riber Escreveu:
\(f(x,y)=xe^y-ye^{2x}\)
\(fx=e^y-ye^2\)


Aqui há um bug pois: \(f_x= e^y -2ye^{2x}\)

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MensagemEnviado: 29 set 2014, 02:50 
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Mesmo assim o resultado não vai mudar, né?

Isso porque:

\(fx=e^y-2ye^2\)

No ponto (x,y)=(0,0)

\({f(0,0)}={e}^{0}-{2}.{0}.{e}^{2}={1}\)

Continua sendo o mesmo valor, pois multiplica por zero.

Estou certo?


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MensagemEnviado: 29 set 2014, 17:07 
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Sim, está certo.

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MensagemEnviado: 01 Oct 2014, 16:05 
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\(f(x,y)=xe^y-ye^{2x}\)

\(f'x=e^y-2ye^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=e^0-2(0)e^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=1-0=1\)

\(f'y=xe^y-e^{2x}\)
\(f_{y}(0,0)=0.e^0-e^{2.0}\)
\(f_{y}(0,0)=0-1=-1\)

\(\underset{U}{\rightarrow}=\frac{\bigtriangledown f(0,0)}{\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}\)
\(\underset{U}{\rightarrow}=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|=\sqrt{2}\)


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MensagemEnviado: 01 Oct 2014, 16:07 
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Niko Escreveu:
\(f(x,y)=xe^y-ye^{2x}\)

\(f'x=e^y-2ye^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=e^0-2(0)e^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=1-0=1\)

\(f'y=xe^y-e^{2x}\)
\(f_{y}(0,0)=0.e^0-e^{2.0}\)
\(f_{y}(0,0)=0-1=-1\)

\(\underset{U}{\rightarrow}=\frac{\bigtriangledown f(0,0)}{\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}\)
\(\underset{U}{\rightarrow}=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|=\sqrt{2}\)



\(f'x=e^y-2ye^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=e^0-2(0)e^{2}\)
\(f_{x}(0,0)=1-0=1\)

\(f'y=xe^y-e^{2x}\)
\(f_{y}(0,0)=0.e^0-e^{2.0}\)
\(f_{y}(0,0)=0-1=-1\)

\(\underset{U}{\rightarrow}=\frac{\bigtriangledown f(0,0)}{\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}\)
\(\underset{U}{\rightarrow}=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(\left \| \bigtriangledown f(0,0) \right \|=\sqrt{2}\)[/quote]


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