Custa a perceber o enunciado, mas penso que o que se pretende é determinar os números da forma \(a_1a_2\cdots a_k\) com \(k\leq 3\) tais que i) \(a_i\not= a_j\) se \(i\not= j\); ii&iii) \(a_{i+1}\equiv \left\{\begin{array}{l}3a_i \\3a_i +1\\3a_i +2\end{array}\right. mod 10\) para \(i<k\); iv) \(a_{1}\equiv \left\{\begin{array}{l}3a_k \\3a_k +1\\3a_k +2\end{array}\right. mod 10\); e v) \(a_1>a_i\) para todo o \(i>1\).
Um modo simples de resolver (mas que exige algum olho e paciência) é desenhar um grafo orientado onde os vertices são os algarismos de 0 a 9 e os arcos são os pares de algarismos \((a,b)\) com \(b\equiv \left\{\begin{array}{l}3a \\3a+1\\3a+2\end{array}\right. mod 10\). Os números pretendidos corresponderão aos ciclos ordenados de ordem 1, 2 ou 3 (começando pelo algarismo maior).
No entanto, podemos fazer de um modo mais exaustivo, considerando para cada algarismo \(a\) os conjuntos dos seus precessores \(P(a)\) e dos seus sucessores \(S(a)\). Dizemos que \(a\) precede \(b\) (e que \(b\) sucede \(a\)) se \(b\equiv \left\{\begin{array}{l}3a \\3a+1\\3a+2\end{array}\right. mod 10\). Assim sendo, temos: \(P(0)=\{0,3,6\}, S(0)=\{0,1,2\}\) \(P(1)=\{0,3,7\}, S(1)=\{3,4,5\}\) \(P(2)=\{0,4,7\}, S(2)=\{6,7,8\}\) \(P(3)=\{1,4,7\}, S(3)=\{0,1,9\}\) \(P(4)=\{1,4,8\}, S(4)=\{2,3,4\}\) \(P(5)=\{1,5,8\}, S(5)=\{5,6,7\}\) \(P(6)=\{2,5,8\}, S(6)=\{0,8,9\}\) \(P(7)=\{2,5,9\}, S(7)=\{1,2,3\}\) \(P(8)=\{2,6,9\}, S(8)=\{4,5,6\}\) \(P(9)=\{3,6,9\}, S(9)=\{7,8,9\}\)
Agora um número nas condições pedidas tem um só algarismo \(a\) se e só se \(a\in S(a)\) (ou equivalentemente \(a\in P(a)\)). Ou seja, temos os números 0,4,5 e 9. Um número nas condições pedidas tem dois algarismos \(ab\) se e só se \(a>b\) e \(b\in P(a)\cap S(a)\). Ou seja, 86, 72 e 31. Finalmente um número nas condições pedidas tem três algarismos \(abc\) se e só se \(b\in S(a)\), \(b<a\), \(c\in S(b)\cap P(a)\), \(c<a\) e \(c\not= b\). Depois de analisarmos* os casos, temos 973, 986, 842, 856, 715, 602, 431 e 301.
*A maneira como fiz a análise foi começando pelos algarismos maiores e produzindo a sequência \(a\to S(a)=\{x,y,z\}\to \{S(x),S(y),S(z)\}\) eliminando os casos que satisfaçam as condições. Por exemplo: \(9\to \{7,8,\not9\} \to\{\{1\not\in P(9),2\not\in P(9),3\in P(9)\},\{4\not\in P(9),5\not\in P(9),6\in P(9)\},/\}\) o que dá 973 e 986. Ou ainda, \(8\to \{4,5,6\} \to\{\{2\in P(8),3\not\in P(8),4\not\in P(9)\},\{5\not\in P(8),6\in P(8),7\not\in P(8)\},\{\not8 ,\not9 ,0\not\in P(8)\}\}\) o que dá 842 e 856.
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