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MensagemEnviado: 12 jan 2018, 14:59 
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Boa tarde!

Trabalho na área financeira e em algumas vezes preciso fazer a análise de fluxo de caixa de algumas empresas e me deparo sempre com a mesma dúvida sobre o porque a fórmula:

Valor Presente da Perpetuidade = Perpetuidade
Taxa de desconto - Taxa de crescimento


consegue encontrar o mesmo resultado de Valor presente líquido de quando eu faço o somatório de um fluxo de caixa descontado.

Gostaria de uma explicação matemática para conseguir entender o mecanismo por de trás da fórmula acima. O principal ponto de dúvida é como que apenas descontando a taxa de crescimento da taxa de desconto e dividindo a perpetuidade por esse resultado eu sempre vou encontrar o VPL.

Obrigado,


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MensagemEnviado: 12 jan 2018, 19:21 
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Boa tarde!

A fórmula é simples de se obter, Thiago Romeiro.
Dados:
PMT (perpetuidade)
i = taxa de desconto
k = taxa de crescimento

Fluxo de caixa:
\(\displaystyle{VPL=\dfrac{PMT}{(1+i)}+\dfrac{PMT(1+k)}{(1+i)^2}+\dfrac{PMT(1+k)^2}{(1+i)^3}+\ldots+\dfrac{PMT(1+k)^{n-1}}{(1+i)^n}+\ldots}\text{ multiplicando por (1+k) ambos os lados da equacao}\\\\
\displaystyle{VPL(1+k)=\dfrac{PMT(1+k)}{(1+i)}+\dfrac{PMT(1+k)^2}{(1+i)^2}+\dfrac{PMT(1+k)^3}{(1+i)^3}+\ldots+\dfrac{PMT(1+k)^n}{(1+i)^n}+\ldots}\text{ uma P.G. de razao (1+k)/(1+i)}\\\\
\displaystyle{VPL(1+k)=PMT\cdot\dfrac{1+k}{1+i}\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac{1+k}{1+i}\right)^n}{1-\dfrac{1+k}{1+i}}\)

Cabe uma condição agora: k < i, senão não conseguiremos convergir para um valor na data zero. É uma condição para que uma P.G. infinita tenha resultado em sua soma (razão entre 0 e 1)

Portanto, com n tendendo ao infinito o termo da fração do numerador elevado a n tenderá a zero. Então:
\(\displaystyle{VPL(1+k)=PMT\cdot\dfrac{1+k}{1+i}\cdot\dfrac{1-\cancel{\left(\dfrac{1+k}{1+i}\right)^n}}{1-\dfrac{1+k}{1+i}}\\\\
\displaystyle{VPL(1+k)=PMT\cdot\dfrac{\dfrac{1+k}{1+i}}{1-\dfrac{1+k}{1+i}}\\\\
\displaystyle{VPL(1+k)=PMT\cdot\dfrac{\dfrac{1+k}{1+i}}{\dfrac{(1+i)-(1+k)}{1+i}}\\\\
\displaystyle{VPL(1+k)=PMT\cdot\dfrac{1+k}{(1+i)-(1+k)}\\\\
\displaystyle{VPL\cancel{(1+k)}=PMT\cdot\dfrac{\cancel{1+k}}{(1+i)-(1+k)}\\\\
\displaystyle{\fbox{VPL=\dfrac{PMT}{i-k}}}\)

Espero ter ajudado!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles


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